この三次関数の問題、解けないのですが…

質問

高校生の数学の問題なのですが、解けなくて困っています。どなたか、助けてくださ～い！

f(x)＝x^3＋3/2(1-a)x^2－3ax＋b
ただしa>0。
この関数が、0≦x≦3の範囲で、極大値が２、
最小値が－33/2のとき、a,bそれぞれの値は？

という問題なのですが、極大値が２、という条件から、
－３a＋２b＝３
という関係が導けますよね？

そのあと、0≦a≦3の場合と、3＜aの場合に分けて考えたのですが、どちらの場合も導いた解は条件に反して、答えになりません。もしかして解なし？！とても困っています。誰か、教えてください。お願いします。m(_ _)m

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

#3です。
＞でも、３a＋２b＝３を代入しても、やっぱり答えが出せません。。

-3a+2b=3としているのが答えが出ない原因だと思って、このあとは計算していなかったのですが・・・。
なので、最後までちゃんと計算してみたら、とりあえず、解がもとまりました。

3＜aの時は、解がなくて、

0＜a≦3のときは、
a^3+3a^2+3a-36=0
という3次方程式が出てきて、これを解いて、解が出てきました。(この解に37の3乗根とか出てくるあたりで自信がないですが)

「答えが出せない」というのは、
a^3+3a^2+3a-36=0という3次方程式が解けない、ということでしょうか？

この方程式は、(a+1)^3=a^3+3a^2+3a+1を利用すれば解が求まります。

と、言っても、a^3+3a^2+3a-36=0があっている自信はないです。(2通りの計算方法で、この方程式が出てきたので、あっていると思いますが)

mican00さんの計算では、a^3+3a^2+3a-36=0にならなかったという場合にも、補足をください。もう一度計算してみます。

なお、a^3+3a^2+3a-36=0の(実数)解は、a=-1+37^(1/3)です。

お礼

なるほど！どうもありがとうございます。とても助かりました！！

回答No.3

eatern27

問題文は間違っていませんか？0≦x≦3の範囲で極大値は持ちません。

この関数の極大値が2、0≦x≦3の範囲の最小値が－33/2のとき、a,bそれぞれの値は？

という問題ですかね？
だとすれば、

＞－３a＋２b＝３
＞という関係が導けますよね？

f(-1)＝2を変形すると、-3a+2b=3ではなく、
3a+2b=3になると思いますよ。

補足

ご解答ありがとうございました。もうしわけないです。問題文に関しても、aとbの関係式についても、仰るとおりです。

でも、３a＋２b＝３を代入しても、やっぱり答えが出せません。。

回答No.2

mikelucky

訂正です

極大値のx方が極小値より→極大値のx方が極小値のxより
-1>a,a<-1ではなく-1>a,a>-1です

ごめんなさい

回答No.1

mikelucky

xの3乗の項が正だと右上がりのグラフですよね。
そうすると極大値のx方が極小値より小さくなります

f'(x)=0から-1,a で極値を持つので
-1>a,a<-1のどちらでも条件に合わない気がします

気のせいだったらごめんなさい