微分の問題

質問

『a,bを実数とする。f(x)=x^3+ax^2+bx/3-(a^2+3a+2)/3は
極大値と極小値をもち、そのさは4/27である。
・aとbの関係式を求めよ。』
f(x)を微分してf'(x)=0として
x=(-a±√a^2-b)/3として
√の中が0になってxが重解になってはいけないから
a^2-b≠0⇔b≠a^2としましたが
解答はb=a^2-1でした。
どうしてその答えになるかわかりません。
お助けお願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

f(x)´＝3x＾2+2ax+b/3から、f(x)´＝0の2つの解をαとβ（α＞β）とする。
f(x)´＝0が極大値と極小値をもつから、判別式＞0.‥‥(1)
又、解と係数の関係から、α＋β＝-2a/3、αβ＝b/3。‥‥(2)
極大値＞極小値から、f（β）-f（α）＝4/27.‥‥(3)
(1)に注意しながら、(3)に(2)を代入すると良い。

＃αとβの具体値を求めて計算すると大変ですよ。

お礼

ありがとうございます。
早速やってみましたが、βーαの値がわかりません。
どのように出したらいいのですか。

回答No.8

info22

#3です。
A#3の補足質問の回答
＞(4/27)(a^2-b)√(a^2-b)の式が出てきません。
＞途中の式を書いていただいてもよろしいでしょうか。
α+β=-2a/3、αβ=b/9(α＞β)から
β^3-α^3=(β-α){(α+β)^2-αβ}=(β-α){(4/9)a^2 -b/9}
=(1/9)(β-α)(4a^2 -b)
β^2-α^2=(β-α)(α+β)=-(2/3)a(β-α)
(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ=(4/9)a^2 -(4/9)b=(4/9)(a^2-b)
α＞β(a^2-b>0)から
β-α=-(2/3)√(a^2-b)
以上を代入して
f(β)-f(α)=β^3-α^3+a(β^2-α^2)+(b/3)(β-α)
=(β-α){(1/9)(4a^2 -b)-(2/3)a^2 +(b/3)}
=(1/9)(β-α){(4a^2 -b)-6a^2 +3b}
=(2/9)(β-α)(b-a^2)
=(4/27)(a^2-b)√(a^2-b)=4/27
となります。

お礼

ありがとうございます。
計算ミスしているところがありました。

回答No.7

noname#56760

極大値＞極小値から、
f（β）-f（α）＝∫[α~β]ｆ’(x)dx
=∫[α~β]3(x-α)(x-β)dx←★
=-3(βーα)^3/6=-(βーα)^3/2＝4/27

★のところで
f'(x)=３x^2+2ax+b/3=3(x-α)(x-β)　だから
3x^2+2ax+b/3でやってみると
f（β）-f（α）＝∫[α~β]ｆ’(x)dx
=∫[α~β]3x^2+2ax+b/3dx
＝[x^3+ax^2+bx/3][α~β]
=(β^3ーα^3)+a(β^2ーα^2)+(b/3)(βーα)
=(βーα){β^2+αβ+α^2+a(β+α)+b/3}
で、あっていますす。計算の訓練がしたいなら別として
3(x-α)(x-β)
で処理した方が早そうですが。

回答No.6

mister_moonlight

＞(βーα)×10a^2/9になってしまいます。

単純な計算ミスだろう。
教えたとおり、a＾2-b＝kとして再度計算してみてください。

回答No.5

noname#56760

f'(x)=３x^2+2ax+b/3=3(x-α)(x-β)　　　α＞β
判別式Ｄ＝4a^2-4b>0

極大値＞極小値から、
f（β）-f（α）＝∫[α~β]ｆ’(x)dx
=∫[α~β]3(x-α)(x-β)dx
=-3(βーα)^3/6=-(βーα)^3/2＝4/27
ここで
βーα＝-√Ｄ/3=-2√(a^2-b)/3←解の公式から

代入して
(-1/2)(-8/27)(a^2-b)^(3/2)=4/27

a^2-b=1>0

お礼

(βーα){β^2+αβ+α^2+a(β+α)+b/3}の式は合っていますか。

回答No.4

mister_moonlight

a＾2-b＝kと置けば、途中の計算が楽。
最終的に、k√k＝1より、kは実数であるから、k＝1となる。

お礼

f(β)-f(α)=β^3-α^3+a(β^2-α^2)+(b/3)(β-α)の式から
(4/27)(a^2-b)√(a^2-b)の式になるのが
(βーα){β^2+αβ+α^2+a(β+α)+b/3}になり
(βーα)×10a^2/9になってしまいます。

回答No.3

info22

途中から
β-α=-(2/3)√(a^2-b)
f(β)-f(α)=β^3-α^3+a(β^2-α^2)+(b/3)(β-α)
=(4/27)(a^2-b)√(a^2-b)=4/27
(a^2-b)√(a^2-b)=1
a^2-b=1 ∴b=a^2-1

お礼

ありがとうございます。
(4/27)(a^2-b)√(a^2-b)の式が出てきません。
途中の式を書いていただいてもよろしいでしょうか。

回答No.2

mister_moonlight

＞早速やってみましたが、βーαの値がわかりません。

（βーα）＾2＝（β＋α）＾2-4αβ　。但し、α＞β。

お礼

ありがとうございます。
βーα=2√(a^2-b)/3となりだいにゅうしてやってみると
4a^4-4a^3b+a^2b^2+4a^2b+4ab^2-b^3-4=0
という式が出てきてその先どうしようもありません。