至急 問題解説お願いします

質問

こんばんは。
タイトル通りですが、以下の問題の解説をお願いします。途中式なども省かず示していただけるとありがたいです。

（1）３次関数 y=2x^3–3x^2+3ax（aは実数の定数）がx=α、x=βでそれぞれ極大値、極小値をとるとき、次の問に答えよ。

　（ア）αの値の範囲を求めよ。
　（イ）α+β、αβの値を求めよ。
　（ウ）f(x)の極大値と極小値の値の和が0であるとき、aの値を求めよ。

（2）関数f(x)=2x^3+9x^2+6x–1はx=（　　　）で極小値（　　　）をとる。

ちなみに回答は、

（1）
　（ア）a<1/2
　（イ）α+β=1、αβ=a/2
　（ウ）a=1/3
（2）順に、［–3+√5］/2、［7–5√5］/2

です。よろしくお願いします！

回答No.5

asuncion

(1)における解と係数の関係から、α + β = 1, αβ = a/2 ... (2)
f(α) + f(β) = 0
2α^3 - 3α^2 + 3aα + 2β^3 - 3β^2 + 3aβ = 0
2(α^3 + β^3) - 3(α^2 + β^2) + 3a(α + β) = 0
2(α + β)(α^2 - αβ + β^2) - 3((α + β)^2 - 2αβ) + 3a(α + β) = 0
ここで、(2)を代入して少し整理してみる。
2((α + β)^2 - 3αβ) + 3a + 3a = 0
ここで、先の回答とは符号が違ってた。
2(1 - 3a/2) + 6a = 0
2 - 3a + 6a = 0
a = -2/3

回答No.4

asuncion

＞途中省略：自分で計算してみてください
これでは身も蓋もないので、
極小値 = f(α) = 2α^3 + 9α^2 + 6α - 1
α = (-3 + √5) / 2より、
2α = -3 + √5
4α^2 = 14 - 6√5
α^2 = (7 - 3√5) / 2
2α^3 = (-36 + 16√5) / 2 = -18 + 8√5 ... (1)
9α^2 = 9(14 - 6√5) / 4 = (63 - 27√5) / 2 ... (2)
6α - 1= -10 + 3√5 ... (3)
(1)(2)(3)の合計より、f(α) = (7 - 5√5) / 2

お礼

丁寧に回答してくださりありがとうございました。とても分かりやすかったです。

回答No.3

asuncion

＞もう一度(2)を代入する。
＞2(1 - 3a/2) = 0
＞3a / 2 = 1, a = 1/3
a = 2/3になるっぽい。

回答No.2

asuncion

f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 6x - 1
f'(x) = 6x^2 + 18x + 6 = 0 ... (1)を満たすxのうち、大きい方の値で極小値をとる。
なぜなら、x^3の係数が正だから。
(1)より、x^2 + 3x + 1 = 0
これを満たすxの大きい方の値は
x = (-3 + √(9 - 4)) / 2 = (-3 + √5) / 2
これをαとすると、
極小値 = f(α) = 2α^3 + 9α^2 + 6α - 1
途中省略：自分で計算してみてください
f(α) = (7 - 5√5) / 2

回答No.1

asuncion

y = f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3ax
y' = f'(x) = 6x^2 - 6x + 3a
極大値、極小値をとるのはy' = f'(x) = 0のとき。
6x^2 - 6x + 3a = 0
2x^2 - 2x + a = 0 ... (1)
x = (1 ± √(1 - 2a)) / 2
f(x)の3次の係数が正であるから、x = (1 - √(1 - 2a)) / 2 = αで極大値をとる。
また、x = (1 + √(1 - 2a)) / 2 = βで極小値をとる。
根号の中は正であるから、1 - 2a > 0, a < 1/2
(1)における解と係数の関係から、α + β = 1, αβ = a/2 ... (2)
f(α) + f(β) = 0
2α^3 - 3α^2 + 3aα + 2β^3 - 3β^2 + 3aβ = 0
2(α^3 + β^3) - 3(α^2 + β^2) + 3a(α + β) = 0
2(α + β)(α^2 - αβ + β^2) - 3((α + β)^2 - 2αβ) + 3a(α + β) = 0
ここで、(2)を代入して少し整理してみる。
2((α + β)^2 - 3αβ) - 3a + 3a = 0
もう一度(2)を代入する。
2(1 - 3a/2) = 0
3a / 2 = 1, a = 1/3
とりあえずここまで。続きは後で。

お礼

ありがとうございます。微分してからにっちもさっちも行かなくなっていたので本当に助かりました！