微分の応用

質問

微分の応用
2次関数ｆ(x)=ax^2+bx+c(a≠0)とするときｆ’(α),ｆ’(β)を求めよ。ただしα、βはｆ（ｘ）＝０の2つの解である。
という問題なのですが、
解と係数の関係を使ってαβとα＋βを表すのだろうと思いますが、
この次に何をすればいいのか分かりません。
答えに加えて詳しい解説もよろしくおねがいします。

回答No.5

naniwacchi

こんな方法もありますってことで。
α、βは2次方程式：f(x)=0の2解で、x^2の係数が aですので、
f(x)=a(x-α)(x-β)
と表すことができます。

積の微分を用いて、f'(x)=a(x-β)＋a(x-α)となるので
f'(α)=a(α-β)、f'(β)=a(β-α)
となります。

(α-β)^2
=(α+β)^2-4αβ
=(b/a)^2-4(c/a)

α、βが実数とは書かれていませんが、実数解をもつのであれば上記の式は0以上となります。

回答No.4

noname#252183

>解と係数の関係を使ってαβとα＋βを表すのだろうと思いますが、
>この次に何をすればいいのか分かりません。

前の３答より少し回りくどい解き方になりますが、ご参考までに、この方法でもやってみましょう。

ｆ’(α)＝２ａα＋ｂ＝Ａと置く。
ｆ’(β)＝２ａβ＋ｂ＝Ｂと置く。
根と係数の関係を使いたいので、Ａ＋ＢとＡＢを計算してみる。

α＋β＝－ｂ／ａ
αβ＝ｃ／ａ

Ａ＋Ｂ＝２ａ（α＋β）＋２ｂ＝２ａ（－ｂ／ａ）＋２ｂ＝0・・・(1)
（グラフを描いてみれば、２根における接線の勾配は同値で逆符号になるから、足せば 0だと判る。）

ＡＢ＝（２ａα＋ｂ）（２ａβ＋ｂ）＝４ａ^2 αβ＋２ａｂ（α＋β）＋ｂ^2
＝４ａ^2ｃ／ａ＋２ａｂ（－ｂ／ａ）＋ｂ^2
＝４ａｃ－２ｂ^2＋ｂ^2＝４ａｃ－ｂ^2・・・(2)

(2) に (1)を代入して
Ａ（－Ａ）＝－Ａ^2＝４ａｃ－ｂ^2⇒Ａ＝±√（ｂ^2－４ａｃ）

これより Ａ＝ｆ’(α)＝√（ｂ^2－４ａｃ）、Ｂ＝ｆ’(β)＝－√（ｂ^2－４ａｃ）・・・[答]

回答No.3

amsterbar

解の公式で得た
α={－b+√(b^2－4ac)}/2a
β={－b-√(b^2－4ac)}/2a
とすると、f(x)を微分したf'(x)=2ax+bのxにそれぞれ代入すればＯＫです。
よって、
f'(α)=√(b^2－4ac)
f'(β)=-√(b^2－4ac)
となります。

回答No.2

fukuda-h

>α、βはｆ（ｘ）＝０の2つの解である。
とあるので解を求めておきます.
√の中はＤとしておきます。
解の公式からX=(-b±√Ｄ)/2a
次に微分してf'(x)=2ax+b
ここへ先に求めた解を代入すると
2a{(-b±√Ｄ)/2a}+b=-b±√Ｄ+b=±√Ｄ=±√(b^2-4ac)

回答No.1

nag0720

＞解と係数の関係を使ってαβとα＋βを表すのだろうと思いますが、

そんなことをしなくても、単純に２次関数の根の公式で出した値を、
f'(x)=2ax+b
に代入すればいいですよ。