XのX乗の微分は？ 教えてください。

質問

(1)　ＸのＸ乗の微分
(2)　ＸのＸ乗のＸ乗の微分
(3)　ＸのＸ乗のＸ乗のＸ乗の微分

以上３問、学校の宿題なのですが、友達も誰も解けません。助けてください。
お願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

ＸのＸ乗のＸ乗は
(1)　　x^(x^x)
なのか
(2)　　(x^x)^x = x^(x^2)
なのか，どちらでしょう．
例えば，x=3 のとき
(1')　　3^(3^3) = 3^(27) ≒ 7.6×10^(12)　　(ひぇ～，すげぇ数)
(2')　　(3^3)^3 = 27^3 = 19683
ですから，両者はもちろん違います．x=2 だと偶々同じですけれど．

zabuzaburo さんは(2)の解釈ですね．
(3)　　y = x^(x^2)　⇔　log(y) = x^2 log(x)
だから
(4)　　y'/y = 2x log(x) + x
で
(5)　　y' = y{2x log(x) + x} = {2 log(x) + 1}x^(x^2+1)
です．
あれ，zabuzaburo さん，ちょっとミスタイプされたようです．

なお，単に
(6)　　x^x^x
とあったら，(1)の意味です．
こちらなら
(7)　　(x^x^x)' = (x^x^x){x^(x-1) + (x^x) log(x)[1+log(x)]}
です．
他人様のこと言っているけれど，私もミスタイプが心配．
式は書きにくいし，見にくいし(^^;)

お礼

ありがとうございました。ちなみに問題はx^x^xでした…。次回からはもっとわかりやすい聞き方を心がけます。

回答No.2

zabuzaburo

(2)(3)はそれぞれ
(x^x)^x = x^(x^2)
[(x^x)^x]^x = x^(x^3)
と変形すれば対数微分法で微分できます。
答えが
(1)[log(x) + 1](x^x)
(2)[2log(x) + 1][x^(x + 1)]
(3)[3log(x) + 1][x^(x + 2)]
となれば正解です。logの底はeです。

途中でつまづいたところを教えていただければ
さらに解説します。

お礼

ありがとうございました。宿題の問題はただのx^x^xの微分だったので今回頂いた解答とは違うのですが、私の聞き方が悪かったですね…。でもこれも一ヶ月後にあるテストに宿題の問題によく似た問題だけど答えは違う問題としてでるかも？私はどっちの形で出されても解けなかったと思うので本当に役に立ちました。

回答No.1

finalanswer

x^xの微分については、以下に同様の質問（締め切っていない）がありましたので、ご参照ください。
(1)が解ければ、(2)も(3)も同様に解けると思います。
基本的に y = f(x) に対して自然対数をとり、両辺を微分すると、y'(=dy/dx)が求まります。
log(y) = log(f(x))
y'/y = (log(f(x)))'
y' = f(x)*(log(f(x)))'

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=277813

お礼

ありがとうございました。そういえば昔ｙ＝f(x)＾g(x)は対数微分と習った気がします。