(x+1)(1-x^2)^(1/2)の微分について

質問

(x+1)(1-x^2)^(1/2)微分する際、

=(x+1){(1-x)(1+x)}^(1/2)
=(x+1)^(3/2)(1-x)^(1/2)

とおいてxについて微分すると、
うまく答えが出ないです。
おそらくはxの定義域の変化によるものなんじゃないかなと思っているのですが、
「定義域を変化させるような式の変換はNG」とは本に書いて無いです。

そういうものなんでしょうか？
なぜ同じ答えにならないのかよくわかりません。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(x+1)(1-x^2)^(1/2)の微分
=(x+1)'(1-x^2)^(1/2)+(x+1){(1-x^2)^(1/2)}'
=(1-x^2)^(1/2)+(x+1)(1/2)(-2x)(1-x^2)^(-1/2)
=(1-x^2)^(1/2)-x(x+1)(1-x^2)^(-1/2)
=-(2x^2+x-1)(1-x^2)^(-1/2)
=-(x+1)(2x-1)(1-x^2)^(-1/2)
=(1-2x){(1+x)/(1-x)}^(1/2)=(ア)
(x+1)^(3/2)(1-x)^(1/2)の微分
=(3/2)(x+1)^(1/2)(1-x)^(1/2)-(1/2)(1-x)^(-1/2)(x+1)^(3/2)
={(3/2)(x+1)^(1/2)(1-x)^(1/2)(1-x)^(1/2)-(1/2)(x+1)^(3/2)}/(1-x)^(1/2)
={(3/2)(x+1)^(1/2)(1-x)-(1/2)(x+1)^(3/2)}/(1-x)^(1/2)
=(x+1)^(1/2){(3/2)(1-x)-(1/2)(x+1)}/(1-x)^(1/2)
=(x+1)^(1/2)(3/2-3x/2-x/2-1/2)/(1-x)^(1/2)
=(x+1)^(1/2)(1-2x)/(1-x)^(1/2)
=(1-2x){(1+x)/(1-x)}^(1/2)=(ア)

お礼

回答ありがとうございます
そしてごめんなさい。
そうですよね・・・。

回答No.4

ereserve67

>定義域が変わる

xは実数ですよね．なら，変わらないと思います．元の式には√(1-x^2)が，変形後の式には√(x+1)と√(1-x)がでてきますが，√内≧0なのでどちらも定義域は-1≦x≦1です．

すると微分しても結果は変わらないはず．直接ｘで微分するやり方は他の回答者が行っているのでここでは次のようにしてみましょう．まず，

f(x)=(x+1)√(1-x^2)
x=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)
g(θ)=f(sinθ)

とおきます．

g(θ)=(sinθ+1)√(1-sin^2θ)=(sinθ+1)√(con^2θ)=(sinθ+1)cosθ=sinθcosθ+cosθ
g'(θ)=cos^2θ-sin^2θ-sinθ=1-sinθ-2sin^2θ=(1+sinθ)(1-2sinθ)=(1+x)(1-2x)

一方．

g'(θ)=f'(sinθ)(sinθ)'=f'(x)cosθ=f'(x)√(1-x^2)

∴f'(x)=g'(θ)/√(1-x^2)=(1+x)(1-2x)/√(1+x)(1-x)=√(1+x)(1-2x)/√(1-x)=(1-2x)√{(1+x)(1-x)} (-1<x<1)

お礼

回答ありがとうございます
そしてごめんなさい。
定義域については誤解してました。勉強になりました
ありがとうございます。

回答No.2

hashioogi

同じになりましたけど…。

お礼

回答ありがとうございます
そしてごめんなさい。
自己解決しました。
恥ずかしいーーーー

回答No.1

Tacosan

それぞれどのような答えになったのでしょうか?

お礼

回答ありがとうございます
そしてごめんなさい。
自己解決しました。