xについての偏微分

質問

２変数関数f(x,y)

f(x,y) =　xy^2/x^2+y^2　　 ((x,y)≠(0,0)のとき)
　　　 = 　 0 ((x,y)=(0,0)のとき)

をxについて偏微分するとどうなりますか？また、(0,0)での偏微分はどうしたらいいのでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.2

noname#224896

ｆ(x，y) =　xy^2/（x^2+y^2）　　 ((x,y)≠(0,0)のとき)
　　　 = 　 0 ((x,y)　　　　　　　(0,0)のとき)
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＞＞xについて偏微分するとどうなりますか？
＞yを定数とみなしxについて微分すれば良い。
＞f(x,y)は原点を含め連続関数なので
＃１さん，申し訳ありません．
申し訳ないのですが，
まだ，関数f(x,y)は原点を含めた，
『偏微分可能性』と『関数の連続性』が示されていません．

しかしながら，偏微分だけであれば，（０，０）において，
偏微分可能性の証明が必要となってきます．
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【原点における関数ｆ（ｘ，ｙ）の偏微分可能性】

原点（０，０）におけるf(ｘ，ｙ)の偏微分可能性について調べる．
（連続性については後述を参照）
y=0，または，x=0の何れでも，f(ｘ，０)=0 かつ f(0,y)=0となる．
よって，ｙ＝０のとき，
（∂/∂x）f(ｘ，０)=(x→０)lim｛{f(ｘ，０)-f（０，０）}／x｝　．．．(1)
関数の定義より，f（０，０）＝０
また，f(ｘ，０)＝０となることから，
(1)式は，(x→０)lim｛０／ｘ｝＝０となり，
原点において，ｆ（ｘ，ｙ）が，偏微分係数の定義より，
ｘについて，偏微分可能であることが判った．
つまり，f_x(０，０)＝０
となる．
同様にして，原点において，ｆ（ｘ，ｙ）が，偏微分係数の定義より，
ｙについて，偏微分可能であることが判る．
つまり，f_y(０，０)＝０

すなわち，原点において，
関数ｆ（ｘ，ｙ）は，ｘについても，ｙについても偏微分可能であり，
その偏微分導関数は，それぞれ，
原点（０，０）においては，
f_x（０，０）＝０
f_y（０，０）＝０
となり，
原点以外の点では，xについて偏微分すると，
f_x(ｘ，ｙ)
＝{{∂(xy^2)/∂x}（x^2+y^2）-{∂（x^2+y^2）∂x}(xy^2)}/（x^2+y^2）^2
={(y^2)（x^2+y^2）-2(xy)^2}/（x^2+y^2）^2
={(y^2)(y^2-x^2)}/（x^2+y^2）^2
={(y^2)(y+x)(y-x)}/（x^2+y^2）^2

∴f_x(ｘ，ｙ)={(y^2)(y+x)(y-x)}/（x^2+y^2）^2

原点以外の点では，ｙについて偏微分すると，
f_y(ｘ，ｙ)
＝{{∂(xy^2)/∂y}（x^2+y^2）-{∂（x^2+y^2）∂y}(xy^2)}/（x^2+y^2）^2
＝{(2xy)(x^2+y^2）-(2y)(xy^2)/（x^2+y^2）^2
={(2xy)(x^2+y^2-y^2)}/（x^2+y^2）^2
={(2(x^3)y}/（x^2+y^2）^2

∴f_y(ｘ，ｙ)={(2(x^3)y}/（x^2+y^2）^2

まとめると，
f_x(ｘ，ｙ）は，
原点で，０となり，
それ以外の点では，
f_x(ｘ，ｙ)={(y^2)(y+x)(y-x)}/（x^2+y^2）^2
となる．
また，
f_x(ｘ，ｙ)は，
原点で，０となり，
それ以外の点では，
f_y(ｘ，ｙ)={(2(x^3)y}/（x^2+y^2）^2
となる．

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【関数ｆ（ｘ，ｙ）の原点における連続性】

以下，関数ｆ（ｘ，ｙ）が点（０，０）において連続であるか否か確認する．
即ち，（ｘ．ｙ）→（０，０）のとき，ｆ（ｘ，ｙ）の極限値を考える．

ｆ(x，y) ＝　（xy^2）/（x^2+y^2）　((x,y)≠(0,0)のとき)より，

y=mxとおくと，　（ｍは，m≠０を満たす任意の実数とする）

ｆ(x，mx)
＝　{x(mx)^2}/{x^2+(mx)^2}
＝｛(m^2)x^3｝/｛(1+m^2)x^2 ｝
＝{(m^2)/(1+m^2)}x
つまり，
(x→０）lim{ｆ(x，mx)}＝０
（ｘ．ｙ）→（０，０）のとき，ｆ（ｘ，ｙ）→０
よって，原点において，
関数ｆ（ｘ，ｙ）が連続であることが証明された．
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気になったもので，横から入って申し訳ありません．
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回答No.1

info22_

>f(x,y) =　xy^2/(x^2+y^2)　　 ((x,y)≠(0,0)のとき)
分母にカッコが付くのでは？
そうなら

>xについて偏微分するとどうなりますか？
yを定数とみなしxについて微分すれば良い。
f(x,y)は原点を含め連続関数なので
積の微分法を使い
y≠0の時
fx=∂f/∂x=y^2/(x^2+y^2)-2x^2*y^2/(x^2+y^2)^2=(y^2 -x^2)y^2/(x^2+y^2)^2
lim(y→0) fx=0
y=0の時
f(x,y)=0
fx=0

>(0,0)での偏微分はどうしたらいいのでしょうか？
xについての偏微分fx(0,0)なら
f(x,y)でy=0としてxについて偏微分すれば良い
f(x,0)=0
fx(x,0)=∂f(x,0)/∂x=0
fx(0,0)=0

もし、yについての偏微分fy(0,0)なら
f(x,y)でx=0としてyについて偏微分すればよい。
　f(0,y)=0
fy(0,y)=∂f(0,y)/∂y=0
fy(0,0)=0