偏微分方程式 (δ^2 u)/(δx^2)=0
下記 (2) (δ^2 u)/(δx^2) = 0 の説明が理解できていません。まず、本の内容を：
例） 次の偏微分方程式を満たすu(x,y)の形を求めよう。
(1) δu/δx = 0
xに対する偏微分が0であるから、uはxを含まない関数、すなわちuはyだけの関数である。φ(y)をyの任意の関数として
u = φ(y)
である。
yの任意の関数φ(y)をxで偏微分しても結果は0であるため、φ(y)は1階の常微分方程式の解に含まれる任意定数に対応している。
(2) (δ^2 u)/(δx^2) = 0
(δ/δx)(δu/δx) = 0 であるから、(δu/δx) = φ(y) （φ(y)はyの任意の関数）となる。つまり、
(δ/δx)( u-xφ(y) ) = 0
したがって、もう１つのyの任意関数θ(y)を用いて
u-xφ(y) = θ(y)
となる。よって
u = xφ(y)+θ(y) （φ(y), θ(y)はyの任意の関数 ）
・・・と本に書いてあります。
(1)は多分理解できています。普通の積分の積分定数C1, C2, ...みたいなものですよね？
ただ、それを踏まえて(3)ですけど、理解できていません。
まず、(δ/δx)(δu/δx) = 0になる理由は分かっているつもりです。
1階のをもう1回微分したから2階になったんですよね。
(δu/δx) = φ(y)は分かりません。もしそうなら、
(δ/δx)( φ(y) ) = 0
でもいいということですか？そうなると次の式
(δ/δx)( u-xφ(y) ) = 0
と矛盾してきませんか？u-xφ(y)が突然出てきた理由は、
δu/δx = φ(y)
δu = δxφ(y)
u = xφ(y)
u-xφ(y) = 0
ということですよね？これが合っているなら、むしろ、
(δ/δx)( 0 ) = 0
じゃないですか？(←ここは多分自分が間違えていると思いますが何故か分かりません)
そんなことを考えていると次にまた、
u-xφ(y) = θ(y)
が出てきて混乱しています・・・。
ネットで検索したらあるかと思ったのですが、すぐに応用の話になって見つかりません…。
ということで、上から一つ一つどうなっているのか説明して下さい。お願いします。
お礼
3/[2 √(3x)] を √3/(2√x) にしようと掛けたり２乗したりしていました。 こうやって書いて頂いてやってみると √3/(2√x) から 3/[2 √(3x)] は簡単に出来てしまいました。 有り難うございました！