数列（級数）の問題

質問

級数とは本質的には関係ないことですが教えてください。

1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4・・・・この部分和S_2nを求めよ。という問題ですが、S_2n-1=1なので、S_2n=1-1/(n+1)と書いてあり最初は納得しましたが、考え直してみると「なぜ(2n+1)ではなく、(n+1)なのか。」と思ってしまいました。理由を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.6

quantum2000 · ベストアンサー

具体的に書き出してみましょう．

１ － １／２ ＋ １／２ － １／３ ＋ １／３ －１／４ ＋ １／４ － ・・・
に対して，
ｎ＝１ のときは，Ｓ_2n ＝ Ｓ_2*1 ＝ Ｓ_2 　＝ １ － １／２
ｎ＝２ のときは，Ｓ_2n ＝ Ｓ_2*2 ＝ Ｓ_4 　＝ １ － １／２ ＋ １／２ － １／３
ｎ＝３ のときは，Ｓ_2n ＝ Ｓ_2*3 ＝ Ｓ_6 　＝ １ － １／２ ＋ １／２ － １／３ ＋ １／３ － １／４
ｎ＝４ のときは，Ｓ_2n ＝ Ｓ_2*4 ＝ Ｓ_8 　＝ １ － １／２ ＋ １／２ － １／３ ＋ １／３ － １／４ ＋ １／４ － １／５
ｎ＝５ のときは，Ｓ_2n ＝ Ｓ_2*5 ＝ Ｓ_10 ＝ １ － １／２ ＋ １／２ － １／３ ＋ １／３ － １／４ ＋ １／４ － １／５ ＋ １／５ － １／６
・・・

つまり，
ｎ＝１ のときは，Ｓ_2n ＝ １ － １／２
ｎ＝２ のときは，Ｓ_2n ＝ １ － １／３
ｎ＝３ のときは，Ｓ_2n ＝ １ － １／４
ｎ＝４ のときは，Ｓ_2n ＝ １ － １／５
ｎ＝５ のときは，Ｓ_2n ＝ １ － １／６
・・・
というように，確かに右辺は １－１／（ｎ＋１） となっていますね！

これは，感覚的に言うと，
左辺 Ｓ_2n の 2n は，確かに「２つ跳び」で増えていくが，
右辺の １／（ｎ＋１）　の所も，元の級数の上では±の２つずつ現れているので「２つ跳びの並び方」になっている！
だから，うまく合う！
という感じ．

どうでしょう？

回答No.5

inara

この数列は１から始まっているので、数列の第１項目を1とすることは異論ないですね？そして、部分和に出てくる n は、n = 1から数え始めることにしているということは分かりますね？

そうすると、n = 1,2,..と増えていくとき、2n-1 = 1,3,5,..なので、S_2n-1 = 1 となっているのは分かりますね（実際、1項目から奇数項までの和は必ず 1 になっています）。

S_2n-1 は奇数項までの和しか表していないので、間の偶数項までの和はどうなるのか気になります。それを計算するには、2n-1項までの和の次の項（偶数番目の項）を加ればいいわけです。S_2n-1の次の項というのは、n = 1のときは第２項目の-1/2、n = 2のときは第4項目の-1/3 となっているから、S_2n-1の次の項は必ず -1/(n+1) になっています。

これを一般的に書くと、2n-1項の次の項というのは、2n-1に1を足した2nです。ですから、S_2n = S_2n-1 -1/(n+1) となります。とろこが、S_2n-1 というのは、n が何であっても 1 でしたから、S_2n = 1 -1/(n+1) となるわけです。

回答No.4

fool_ish

数列 {a_n} を，
{a_n} = 1, -1/2, 1/2, -1/3, ...
とする．この数列の部分和 S_n，すなわち
S_n = Σ[k=1, n] a_k
を求めたい．

nが奇数のときの S_n，すなわち S_{2n-1}（n=1, 2, ...）が1に等しいのは明らかだ．
（明らかに思えない場合は，S_1, S_3, S_5 などを実際に書き出して計算してみよ．）

nが偶数のときの S_n，すなわちS_{2n}（n=1, 2, ...）を求めたい．
奇数のときのように簡単には求められないが，
S_{2n-1} = 1 であり，
S_{2n} = S_{2n-1} + a_{2n} = 1 + a_{2n}
であるから，a_{2n} を n で表しさえすれば，S_{2n} も n で表せる．

ここで数列 {a_n} を見返すと，
{a_n} = 1, -1/2, 1/2, -1/3, ...
の偶数番目の項 a_{2n} は，
a_{2n} = -1/(n+1)
と表せる．したがって，
S_{2n} = 1 + a_{2n} = 1 - 1/(n+1)
である．
a_{2n} が -1/(n+1) であることは，以下のようにして分かる：
n を1から増やしてゆき，a_{2n} を書き出すと
n=1, a_{2*1} = -1/2
n=2, a_{2*2} = -1/3
n=3, a_{2*3} = -1/4
となって，n = 1, 2, 3, ... のとき，a_{2n} の分母は2, 3, 4, ... と，n+1 となっている．

追記：
#2への補足に，「厳密なことではなく，感覚的というか直感的のもののほうがわかりやすい」とあるが，
直観的に正しく理解することは，式を追って理解することより難しい．
「感覚的には分かるが，理詰めでは分からない」というのは，じつは初めの感覚的な理解が曖昧なだけだ．
まずは，理詰めできちんと理解すること．

お礼

個人的には1番わかりやすかったです。ありがとうございました。ほかの方も！！

foolishさんには否定気味の意見をいつも言われますが、それが案外そのとおりだったりするので参考になります。

回答No.3

y_akkie

まず、S_2nの分母の分母の部分をA_2nとおきます。
すなわち、S_2n = 1 - 1/A_2nとします。

すると、

A_2 = 2
A_4 = 3
A_6 = 4
A_8 = 5

となる事から、A_2nは交差１の等差数列である事が分かります。
ここで、分かりやすくするために、B_n = A_2nとおくと、B_1 = 2, B_2 = 3,B_3 = 4 , B_4 = 5となりますので、B_n = n + 1である事は分かりますよね。

そして、左辺をA_2nに置き換えると、A_2n = n + 1になる事が分かります。
この事から、

S_2n = 1 - 1 / A_2n = 1 - 1 / (n + 1)になる事が分かります。

回答No.2

kkkk2222

A_n=A(n)と表記します

この問題では極限値は求めさせていませんが
S(2n-1)=1
S(2n)=1-(1/(n+1))
lim[n→∞]S(2n-1)=1
lim[n→∞]S(2n)=1　　よりlim[n→∞]S(n)=1　とするのが常套手段です

話がずれました、ＳＭＡＲＴではありませんが、書き出して見ます
P(1)=S(1)=1　　　　
　　　S(2)=1-(1/2)=Q(1)
P(2)=S(3)=1　　　　
　　　S(4)=1-(1/3)=Q(2)
P(3)=S(5)=1
　　　S(6)=1-(1/4)=Q(3)
P(3)=S(7)=1
　　　S(8)=1-(1/5)=Q(4)
: : :
P(n)=S(2n-1)=1
　　　S(2n)=1-(1/(n+1))=Q(n)

さて　2n+1 と思った原因はもうわかったと思います・・・Q(n)から判断
この様に新しい数列はP(n)とかQ(n)と置きなおすと、安心感が・・・
あれ、これ最近同じ事書いたな。

＊これで十分かどうかは　わかりません
＊S(n)がnの式で表せるかどうかは、今から考えます

補足

すみません。まったくわかりません。厳密なことではなく、感覚的というか直感的のもののほうが数学が苦手な僕にはわかりやすいかもしれません。。。。
no1のかたのa_2nもわかりません。

助けてください。

回答No.1

tatsumi01

S_2n = 1-a_2n
であることは分かりますね。では a_2n はどうなるでしょうか。

お礼

ありがとうございました。