数列；無限等比級数の和の応用（？）問題

質問

お世話になっております。
当方大学生ですが、高校生レベルの問題です。
ただし、答えがあるとは限りません。

等差数列と等比数列の積でできた数列の和を求める問題はよくありますよね（下式）。

S_n=Σ_[k=1～n] { k * (1/2)^k }

これは等比数列の和の公式を導くときのように公比をかけたものrS_nを考えれば、ただの等比数列の和に帰着します。

ここからがしつもんですが、では、

調和数列と等比数列の積でできた数列の和は求めることができるでしょうか（下式）？

S_n=Σ_[k=1～n] { (1/k) * (1/2)^k }

またその無限級数はどうでしょう？上のS_nは収束しそうですが、
その値は求まるでしょうか？あるいは√やe, piで表せない無理数となってしまうのでしょうか？

詳しい方、自信のある方、どうか、よろしくお願いいたします。

回答No.1

itoi_mitsugu · ベストアンサー

1/(1-x)=Σ[k=0～∞]x^kただし|x|<1
0<x<1で積分して
-log(1-x)=Σ[k=0～∞]1/(k+1)x^(k+1)
x=1/2で∞のとき計算できる
有限のときも(1-x^n)/(1-x)=Σ[k=0～(n-1)]x^k
の両辺を０から1/2まで積分すれば計算できる

お礼

鮮やかですね。ありがとうございました。