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級数和の問題

(1)級数 Σ[n=1~∞]1/nは発散することを示せ。 →積分判定法により、発散 (2) m桁の自然数のうち0が入らないものの個数を答えよ。 1つの桁に対して、1~9までの9通りの入り方があるので、9^m個 を踏まえて、 (3) (1)の和から、nに0の文字が入った項(1/10,1/20など)を抜いた級数をSとする。 このSが収束することを示せ。 という問題です。(3)について教えてください。

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  • alice_44
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回答No.3

ちょっと楽しい問題なんで、やってみた。 S の項の内、分母が n 以下の項の和を s[n]、 分母が n 桁以下の項の和を S(n)、 分母が 2 桁以上 n 桁以下の項の和を T(n)、 T(n) の各分母の一の位の数字を 0 に 入れ換えた分数の和を U(n) と置く。 s[n] は単調増加であり、 10のk乗 ≦ n < 10の(k+1)乗 のとき S(k) ≦ s[n] < S(k+1) が成り立つ。 lim[k→∞] S(k) が収束すれば、 ハサミウチにより、lim[n→∞] s[n] も収束する。 定義により、 S(n) = S(1) + T(n), T(n) ≦ U(n) が成り立つ。また、 U(n) の各項には、S(n-1) の項の分母を 10 倍 したものが各 9 回づつ現れるから、 U(n) = (9/10)S(n-1) が成り立つ。 以上をまとめると S(n) ≦ S(1) + (9/10)S(n-1) が成り立つ。 S(n) が単調増加であることから S(n) ≦ S(1) + (9/10)S(n). これを変形して S(n) ≦ 10S(1) と、 S(n) が有界であることが示せる。 上に有界な単調増加列は、収束する。

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その他の回答 (2)

  • Tacosan
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回答No.2

何を?

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  • tmpname
  • ベストアンサー率67% (195/287)
回答No.1

(3) Σ_(nはm桁の自然数) 1/nを考えると、これは(2)の結果から ≦ {10^(-m + 1)} * (9^m) = 10 * {(9/10)^m}で抑えられますね。

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