フーリエ級数の問題です

質問

f(x)= x (-π<= x <=π) のフーリエ級数を用いて無限級数和

(1) Σ[n=1～∞] Σ 1/n^2 (2) Σ[n=1～∞] (-1)^n/n^2

を求めよという問題ですが、フーリエ級数は求められて

f(x)= 　 2Σ[n=1～∞] {(-1)^n+1}*sin(nx)/n

になるけれど、ｘに何を代入すればいいかわかりません。御回答よろしくお願いします。

回答No.1

SKJAXN · ベストアンサー

f(x)＝x（－π≦x≦π）のフーリエ級数を用いることで間違いないでしょうか？　
f(x)＝x^2（－π≦x≦π）ということはないでしょうか？
f(x)＝x（－π≦x≦π）の場合、確かにf(x)のフーリエ級数表現は、
f(x)＝2*Σ[n＝1～∞]{(－1)^(n＋1)*sin(n*x)/n}
であることは間違いないのですが、分母が1/nとなるために、xに何を入れようとも問題(1)(2)のように分母が1/n^2となる要素が出てきません。
仮に f(x)＝x^2（－π≦x≦π）である場合、f(x)のフーリエ級数表現は、
f(x)＝π^2/3－4*Σ[n＝1～∞]{(－1)^(n＋1)*cos(n*x)/n^2}　・・・〔式1〕
となり、分母に1/n^2の要素が出てきます。このとき〔式1〕に x＝0 を入れると、
0＝π^2/3－4*(1/1^2－1/2^2＋1/3^2－1/4^2＋・・・)
⇔ －π^2/12＝Σ[n＝1～∞]{(－1)^n/n^2}
となりますので、問題(2)の無限級数和は、－π^2/12 と求まります。さらに〔式1〕に x＝π を入れると、
π^2＝π^2/3－4*(－1/1^2－1/2^2－1/3^2－1/4^2－・・・)
⇔ π^2/6＝Σ[n＝1～∞]{1/n^2}
となりますので、問題(1)の無限級数和は、π^2/6 と求まります。
以上貴殿の意に反しておりますが、あくまでも f(x)＝x^2 のフーリエ級数表現であることをご留意下さい。

補足

レポートの問題なんですけども確認したら、f(x)=xで間違いありませんでした。おそらく問題が間違ってるんだと思います。

回答No.2

Tacosan

パーセバルの等式?