３次関数の変曲点の性質について

質問

ある３次関数上の点の接線が再びその３次関数と交わる点を求めるとき、変曲点の知識を使って、（接点ー変曲点）：（変曲点ー交点）＝１：２から交点を求めても入試でOKなんですか。ちょっと不安です。でも３次関数ののれきっとした性質ですよね？

回答No.5

oshiete_goo · ベストアンサー

大学の採点基準がどうなるかは問題の要求レベルによりけりなので（実物を見たこともありますが）、出題意図を判断できなければまずいと思います。No.1氏，No.2氏のおっしゃるように、どちらかといえば安全策を取る方がよいでしょう。問題が性質の証明を実質的に要求しているのに、「私はその性質は知っています」では不都合でしょう。とはいえ、いちいち一般的に証明するのも大変です。
よく出来ている人にもいろいろなタイプがありますが、大手の予備校の模試の採点をやった経験から結論をいえば、一般論が主要なテーマになっていない限り、知識を振り回さずにサラリとこなすのが賢明かと思います。
　たとえば３次関数 f(x) の具体形が与えられていて x=α の点での接線が
y=ax+b ならば f(x)-(ax+b) は (x-α)^2 で割り切れて、
　　f(x)-(ax+b)=(x-α)^2*(px+q)
と因数分解される。ここで、もちろん(px+q)の具体形は先刻ご承知のことでしょうが、割り算(3次の項と定数項の係数比較)をしましたというふりをしておけば、別に変曲点を表に出さなくても話はすむし、ケチのつけようはないです。
なお、しばらく前も一般的説明なしに、「（変曲点に関する）対称性より」とやったものはかなり致命的な減点になりました。

お礼

こんにちは。どうも有り難うございます。

＞出題意図を判断できなければまずいと思います。No.1氏，No.2氏のおっしゃるように、どちらかといえば安全策を取る方がよいでしょう。問題が性質の証明を実質的に要求しているのに、「私はその性質は知っています」では不都合でしょう。とはいえ、いちいち一般的に証明するのも大変です。

そうですね。大いに納得です！それが絡む証明問題では絶対に使いません！

＞一般論が主要なテーマになっていない限り、知識を振り回さずにサラリとこなすのが賢明かと思います。

サラリと解ければ良いんですが。。。数学は苦手な方なので、どちらかといえばそういう知識でぐんぐん押していきたいタイプなのですが知識を振り回して解ける問題はほとんどないですね。う～ん。

＞たとえば３次関数 f(x) の具体形が与えられていて x=α の点での接線が
y=ax+b ならば f(x)-(ax+b) は (x-α)^2 で割り切れて、
　　f(x)-(ax+b)=(x-α)^2*(px+q)
と因数分解される。ここで、もちろん(px+q)の具体形は先刻ご承知のことでしょうが、割り算(3次の項と定数項の係数比較)をしましたというふりをしておけば、別に変曲点を表に出さなくても話はすむし、ケチのつけようはないです。

すいません、ちょっわから無いところがあったのですが、正攻法でも変曲点の知識を使えば計算を省略できるということですか？それとも、正攻法でもあまり手間はかからないということでしょうか？

回答No.1

mozniac

おはようございます。

>（接点ー変曲点）：（変曲点ー交点）＝１：２
って成り立ちます？

私はy=x^3-3x上の点(√3,0)での接線を考えてみたのですが、成り立たないように思います。ちょっと試してもらえませんか？私の受け取り違いかもしれないですし。

>入試でOK
これって微妙なんですよね。
基本的には、教科書や受験参考書に太字で書いてあるレベル（これも「ぴんきり」(死語)ですが）ならＯＫです。今回のモノは・・・・OKでない確率が高いです。正攻法で攻めた方が無難ですね。

お礼

お返事どうもです。

＞これって微妙なんですよね。
基本的には、教科書や受験参考書に太字で書いてあるレベル（これも「ぴんきり」(死語)ですが）ならＯＫです。今回のモノは・・・・OKでない確率が高いです。正攻法で攻めた方が無難ですね。

なるほど、ちょっとあぶない部類に入るんですね。気をつけます。正攻法もちゃんと習熟しないといけませんね。有り難うございました。