変曲点とは

質問

y=e^(1/x)の関数グラフの変曲点を求める問題なのですがy'=e^(1/x) / x^2　から y"=を求めるとき
y"=(e^(1/x))'*x^2 - e^(1/x)*(x^2)' / (x^2)^2
y"=(1/x)e^(1/x) * x^2 - e^(1/x)* 2x / x^4
y"=e^(1/x)-x /x^4 で解はあっていますか？
また　変曲点は y"=0 なのは調べてわかったのですが
どのように解法してよいかわかりません。
できるだけかみ砕いて教えて頂ければ幸いです　よろしくお願い致します。

回答No.2

postro · ベストアンサー

補足についてお答えします。
話がごちゃごちゃにならないように、先ず「積の微分法」も使える。と言ったことについて説明します。
y'=-e^(1/x) / x^2　の式を
y'=(1/x^2)*(-e^(1/x)) というふうにこれを　(1/x^2)　と　(-e^(1/x))　の積だと考えれば積の微分法も使えるわけです。
次のご質問
＞ちなみに商の微分法だと
＞e^(1/x) － ２ｘ・e^(1/x)
＞マイナスになるので答も　ｘ＝1/2　となるのですが
とのことですが、私は商の微分法で説明しました。
＞e^(1/x) － ２ｘ・e^(1/x)
じゃないです。商の微分法でも　e^(1/x) + ２ｘ・e^(1/x)　です。前の説明の
(-e^(1/x))'*x^2 + e^(1/x)*(x^2)' 　・・・(1)
は納得できましたか？　式と式が　+　でむすばれているのに注目してください。
これは、y'　にマイナスがついているから　－　と　-　で　＋　になることを再確認してください。
さらにわからないことがあったら質問どうぞ。

お礼

postro様　ありがとうございます。
やっと完全に納得いきましたとてもうれしいです。
本当にありがとうございます。今、微分積分の勉強をしているのですがチンプンカンプンなところが多くとても苦戦しています。またたびたび質問していくと思いますのでそのときも答えてやってください。ありがとうございます。

回答No.1

postro

rasrasrasrasras　さんこんにちは
ここ最近のご質問を読ませていただきましたが、微分でちょっと苦戦されているようですね。
私の説明がわかり易いかどうか自信はありませんが読んでみて下さい。
先ず、　y=e^(1/x)　の微分は　y'=e^(1/x) / x^2　ではありません。マイナスがぬけています。
つまり、　y'=-e^(1/x) / x^2　です。単なる勘違いなのかわかりませんが、もう一度チェックしてみてください。
さて、　y"　を求めるのに、「商の微分法」を使っておられますが、「積の微分法」も使えますので、あとでどっちがラクか検討してみてください。
商の微分法ですが、残念ながらちょっと違っています（もともとy'　の符号が間違えていたという理由だけではなさそう）
y"　の分母は　ｘ＾４　でＯＫですね。
さて分子ですが、
(-e^(1/x))'*x^2 + e^(1/x)*(x^2)' 　・・・(1)
y'　の符号に間違いがあったことを考慮すると、(1)は納得ですか。
(-e^(1/x))' = e^(1/x) / x^2　　・・・(2)
(x^2)' = 2x　　　・・・(3)
この　(2)、(3)　は納得ですか。
(2)(3)を(1)に代入しましょう。(1)は
e^(1/x) + ２ｘ・e^(1/x) = （1 + 2x)・e^(1/x) 　・・・(4)　　になりますね
分母とあわせると
y"=　（1 + 2x)・e^(1/x) ／x^4 　　・・・(5)
ということになります。
変曲点はこの　y"=０　とおくと、（e^(1/x) はゼロにはなれないから）
（1 + 2x)　がゼロ、つまり　x = -1/2 のときであることがわかります。
x が　-1/2 前後で　y"　の符号が本当に変わるか最後にチェックしておきましょう。

補足

postro様　ありがとうございます。大変わかりやすかったです、ただ
＞y"　を求めるのに、「商の微分法」を使っておられますが、「積の微分法」も使えますので、あとでどっちがラクか検討してみてください。
とあるのですが？
なぜ商なのに商の微分法だけでなく積の微分法もつかえるのですか？ちなみに商の微分法だと
e^(1/x) － ２ｘ・e^(1/x)
マイナスになるので答も　ｘ＝1/2　となるのですが
どこが間違っているのかわかりません。
基本的な問題なのに煮詰まりきってしまってます　
よろしくお願いいたします。