楕円についてなのですが・・・

質問

前に楕円の幾何学的性質として
「楕円上にある２点から接線を引いた場合、その接線の交点と、接点を直線で結びその結んだ直線の中点の２点を直線で結んだ時、楕円の中心点をその直線は通る。」
とある論文にあったのですが、どうも納得がいきません。この法則はどんな接点に対しても成り立つのでしょうか？
どうか教えてください。お願いします。

回答No.3

pocopeco · ベストアンサー

これはどんな楕円でも成り立ちます。

「2つの接点の中点と楕円の中心点を通る直線、2つの接線、の3直線が、ただ1つの点で交わる」と同値ではないでしょうか？

計算の1例を述べておきます。
楕円を(x/a)^2+(y/b)^2=1
2接点をP(a*cosθ,b*sinθ),Q(a*cosφ,b*sinφ)
とおいて、
PQの中点をRとします。
ORを通る式と、Pでの接線との交点の座標を求めます。
Qでの接線との交点も計算してみてもよいですが、
この座標がθとφで対称なのでQの接線も通ることがわかります。

ぜひ自分で計算してみてください。

お礼

有難うございました。
よく理解できました。

回答No.6

ryn

すみません．

> これらを通る直線を求めると
> 　(1-cosθ)x + y*sinθ = 0
> となり，原点を通ることがわかります．
の数式は
　(1-cosθ)x - y*sinθ = 0
の間違いでした．

お礼

有難うございました。
よく理解できました。

回答No.5

ryn

私も No.1 さんのやり方でよいと思います．

円の場合は幾何学を用いれば三角形の合同等からすぐに証明できますが，
あとで1次変換で変換するので式で解いておきます．

今は，原点中心の単位円で1つの接点を (1,0) として一般性を失いません．
ここで，もう一つの接点を (cosθ,sinθ) とすると
2直線はそれぞれ
　x=1
　x*cosθ + y*sinθ = 1
となり，これらの交点は
　( 1 , (1-cosθ)/sinθ )
となります．

θの範囲に注意すると，接点が重ならないことから 0<θ<2π．
また，θ=π のときは2直線は平行となり交点を持たないので θ≠π です．
したがって，sinθ≠0 となっています．

2接線の交点が ( 1 , (1-cosθ)/sinθ )
2交点の中点が ( (1+cosθ)/2 , (sinθ)/2 )
なので，これらを通る直線を求めると
　(1-cosθ)x + y*sinθ = 0
となり，原点を通ることがわかります．

あとは，一次変換で原点は原点に移される事に注意して
今までの話全体に一次変換を施せば楕円の場合にも成り立つことがわかります．

ただし，上の式の途中過程にもあったように
> この法則はどんな接点に対しても成り立つのでしょうか？
は少しだけ違います．
ある接点と対称な位置にある接点を考えると
2つの接線は平行となってしまうので，その場合は除かなければいけません．

お礼

ありがとうございます。とてもよく理解できました。
数式だとそうなるのですね。有難うございました。

回答No.4

frage

No.1の方の回答の延長です。ヒントにしてください。

●透明なシート（OHPシートのようなもの）に、No.1の方が言われるような円とその接線その他を描きます。
●それを床に対して斜めに投影します。
●床の上の図形は、ご質問のように楕円に対しての図形になっているはずです。
●斜めに投影することによって、床上の図形では接線が接線でなくなったり、中点が中点でなくなったりする現象は、起きないでしょう。つまり、どこに接点・接線を引いても、ご質問にあることは成り立つわけです。
●この斜めに投影するのが、No.1で言われた一次変換と考えてもよいと思います。（数学的に厳密な説明ではありませんが）
●このような操作を数学的に説明（文章で書くこと）できれば、問題は解決すると思います。

以上、ご参考まで。

お礼

有難うございました。
作図をしてみてよく理解できました。

回答No.2

oyaoya65

おそらく質問の法則は成り立つと思います。
「おそらく」の意味は下記の方法で楕円外のすべての任意の点P(p,q)について確認していないからです。

私が確認したのは以下の場合です。
任意のpを定数として
(x/2)^2 + y^2 = 1
で楕円外の点P(p,2)から2接線を楕円に引いて、2つの接点を結ぶ線分の中点Mが点Pと楕円の中心O（原点）を結ぶ直線状に乗っていることを、理論式を立てて確認した。またグラフをp=0.4,0.9,1.4,1.9,2.4の5通り変えて描いて確認もしました。
（理論式は長く複雑な式になりますので省略します。）

お礼

有難うございました。
よく理解できました。

回答No.1

kony0

楕円でなくて円であれば、この法則が成り立つことは簡単に示せます。（中３の教科書レベルと思われます）
楕円は、円を１次変換したものと考えたときに、やっぱりこの法則は保ったまま・・・というわけにはいかないでしょうか？（後半はまったく根拠も自信もなし^^;）
＃嘘ついてたらごめんなさい。こんなので投稿してはいけないでしょうか・・・

お礼

有難うございます。円では、すぐわかるのですが、楕円ではどうも・・・・。ですが、円の拡張が楕円と考えらればできました。
ありがとうございます。