正規分布の変曲点が何故σ(標準偏差)になるのかがわかりません＿|￣|○

質問

質問させていただきますm(__)m

以前から正規分布の変曲点が何故σ(標準偏差)になるのかが気になっておりまして、

(1)まず、変曲点は２階微分して０になるところだから
σ＝1/√2　μ＝0　
とすれば、正規分布の確率密度関数は
p(x)＝{е^(-x^2)}/√π　
と、一番スマートな形になり、2階微分してあげれば、
p"(x)＝{(4x^2 - 2)е^(-x^2)}/√π

σ＝x＝1/√2　を代入すればちゃんと式はゼロになる。

(2)直でσ^2(分散)を求めると、
σ^2＝∫x^2 p(x)Δx　－μ^2　であり、
μは０だから無視して、
∫x^2{е^(-x^2)}/√π Δx　は　
　　　　　　∫-x/2 × -2x{е^(-x^2)}/√π Δx
とわけてあげればうまく部分積分できるかと思います。

∫x^2{е^(-x^2)}/√π Δx ＝
　　　　 [-x{е^(-x^2)}/2√π] ＋ ∫{е^(-x^2)}/2√π Δx

∞から-∞まで積分すると、
[-x{е^(-x^2)}/2√π]＝０　∫{е^(-x^2)}/2√π Δx ＝1/2　

σ^2＝1/2　⇒　σ＝1/√2

長くなりまして恐縮ですが、
一応ココまでで変曲点で出した答えとちゃんと同じになるというところまではいきました。
が、これだけでは何故２つの答えが同じになるかがわかりません。
もし、ご存知の方がいらっしゃいましたら、お暇なときでかまいませんので、ご回答いただければ幸いです。
宜しくお願いいたします。

回答No.1

kony0

±σのところが変曲点であること自体は、単純に計算で出るでしょう。

平均0,分散σ^2の正規分布の確率密度関数
f(x)=(1/√(2π)σ)*exp(-x^2/2σ^2)
を2回微分すると、
f'(x)=(-1/√(2π)σ^3)*x*exp(-x^2/2σ^2)
f''(x)=(-1/√(2π)σ^3)*(1-x^2/σ^2)*exp(-x^2/2σ^2)
したがって、f''(x)=0⇔x=±σ

この確率的な意味については（そもそも意味があるかないかも含めて）私にはわかりませんが・・・