tan90°は正接の加法定理で出せるのではないか?

質問

tan90°y/xより1/0で値なしと定義されていますが
正接の加法定理
tan(A+B)=
tanA+tanB/1-tanAtanB
を利用し
tan(30°+60°)やtan(45°+45°)
で計算できてしまうのではないでしょうか。
高校の先生に聞いたところ
「すでに値を出すものに使う式ではない」
という答えを頂きましたがいまいち納得できません。

高校2年生がわかる範囲(数12AB)で解説お願いいたします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞計算できてしまうのではないでしょうか。

　tanの加法定理にそのまま値を入れて計算すれば分かりますが、30°+60°の組み合わせでも、45°+45°でも分母が０になり、計算不能になります。
　つまり、tanの加法定理はtanAとtanBが逆数にならない関係でのみ成立する式です。
　ちなみに、tanは余角の定理よりtan(π/2-θ)=1/tanθなので、90°をどのように分解してもtanの加法定理が使えないことが分かります。

お礼

確かに計算してみると分母が0になってしまいますね。
改めて計算してわかりました。
また余角の定理を使った考え方も納得です。

わかりやすい回答ありがとうございます。

回答No.5

noname#101087

>高校の先生に聞いたところ「すでに値を出すものに使う式ではない」という答えを頂きましたがいまいち納得できません。

「高校の先生」にムッとされたようですが、先生の脳内には三角関数表の歴史がちらついていたのでしょう。

三角関数表の最初の形はプトレマイオス(トレミー)著「アルマゲスト」(ゲームの名前じゃありません。天文学書です)
にある「弦の表」だといわれてます。
その表を作るとき使われた「トレミーの定理」は加法定理の前身に相当するものでした。
　http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/addthm/ptolemy.html
　>Ptolemy の定理による方法

あえて先生の代弁をするとすれば、加法定理は未知の三角関数値を算定するための強力なツールなのだ、ということでしょうか。

お礼

トレミーの定理は知っていましたが
加法定理に繋がるというのは知らなかったので驚きでした。

先生の言葉の裏にそんな深い意味があるとは思いもしませんでした。
回答ありがとうございました。

回答No.4

y_akkie

試しに加法定理を用いて計算をしてみてください。
A + B = 90°の場合は分母の値が0になるはずです。
すなわち、分母のtanAtanBの部分が１になるはずです。
これは、tanA=1/tan(90-A)（数Ｉ）の関係より計算するまでもなく
把握可能です。
よって、加法定理を用いてもtan90°の値を求める事ができません。

回答No.3

noname#77845

実際に計算してみたら判ると思うのですが、
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
の分母は「０」になります。

回答No.1

take_5

＞tan(A+B)=tanA+tanB/1-tanAtanB

の変形は、A+B＝90°の時はできません。
何故なら、貴方が書いているように

＞tan90°y/xより1/0で値なしと定義されていますが

からです。
分からなければ、y＝tanxのグラフを描けば分かるでしょう。