半径1の半円で定義された三角比のtanについて

質問

この前も似た質問をしたのですが
理解ができなかったのでもう一度質問させてください。

数学Iの三角比で
自分の使っている参考書に

「半径1の半円で定義された三角比で
0°≦x≦180°の範囲の時
sinの取り得る値の範囲は 0≦sinx≦1
cosの取り得る値の範囲は-1≦cosx≦1
tanの場合,0°≦x≦180°のxに対してx=90°では程度されてないけれど
-∞<tanx<∞の範囲で値を取ることが出来る」

と書いてあります。

これはsinはY軸と同じだから0から1というのはわかります。
cosもx軸として考えられるから-1から1になるというのはわかります。
ただtanが∞の範囲で値を取れるというところの意味がわかりません。
tanはy/xですよね。
それでyもxも半円1の範囲で限定されてるわけですから
当然tanもその範囲に限定されるのではないのでしょうか。
この画像の半円の中の範囲に限定されると思うのですがなぜ∞の範囲を取るのでしょうか
よろしくお願いします

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

以前回答したものです．それで理解してもらったと思ったのですが．もう一度．

『xをθとかきます．

θの上半円での動径をOPとし，P(x,y)とします．すると，

sinθ=y,cosθ=x,tanθ=y/x

これはいいですよね．

y=xtanθ

とかけるように

tanθ=直線OPの傾きです．

θ=90°のときだけOPはx軸に垂直になり，このときは傾きtanθが定義できない．
しかし，0°≦θ<90°,90°<θ≦180°のときOPはどんな傾きの直線の傾きにもなるからすべての実数（-∞<tanθ<∞）もとることができる．

OPを実際まわしてみましょう．』

ここでtanθが∞をとるというのはtanθがどんな正の数よりも大きくなれるということです．具体的数値で確かめましょう．

tanθ=y/x

において確かに

半円：x^2+y^2=1，y≧0

がなりたち，したがって

-1≦x≦1，0≦y≦1

です．この不等式よりも半円の式が重要です．これを満たす(x,y)として

x=0.001,y=√(1-ｘ^2)=√(1-0.001^2)=0.99999949999987499993749996093747

をとりましょう．このとき

tanθ=0.99999949999987499993749996093747/0.001=999.99949999987499993749996093747

とほとんど千に近い値をとります．あるいは

x=0.000001,y=√(1-ｘ^2)=√(1-0.000001^2)=0.999999999999499999999999875

をとりましょう．このとき

tanθ=0.999999999999499999999999875/0.000001=999999.999999499999999999875

とほとんど100万近い値をとります．

このようにxを正の値で限りなく小さくしていくと，yの値は限りなく1に近づき，

tanθ=y/xは限りなく大きな値をとる，すなわち∞になる

といえるのです．

同様に-∞になることもできます．よってtanθは-∞～∞の範囲をとるといえます．このことは『tanθがＯＰの傾き』であるから当然なのです．

回答No.4

178-tall

sin と cos では、たまたま「値域」が単位円内の座標に収まっているだけ。

　　　 def
tan(x)　=　sin(x)/cos(x) の場合は、cos(x)→ 0 のとき sin(x)→ 1 なので、どこまでも増大していくでしょう。

単位円内に収まるわけがありません。

回答No.2

いろは にほへと（@dormitory）

私も三角比を学んだばかりの頃にはそんな疑問をうっすらと感じた気がします。
質問者様の疑問は数学IIの三角関数分野ですぐ解決されることと思います。

単位円のx軸の正の部分との交点をP(1,0)とします。また、直線x=1も描きます。点Pが単位円上をゆっくり動く時、直線OP(Oは原点)とx=1との交点をmとおけば、相似の関係から、tan=m/1=m と定義出来ますが、x=0となると分母が0になるので定義出来ません。しかし、点Pは限り無くx=0となるような座標に近付くことはできます。これが、-∞≦tan≦∞と言われる所以でしょう。
単位円描いて、直線x=1を描いて、Pが動く様を図にすると、多少寝付きが良くなるかも知れません。是非頑張って下さい。

回答No.1

suko22

tanxと座標のｘがわかりにくくなるので、tanθと書きます。

単位円周上でtanθは（ｙ座標）/（ｘ座標）です。

θが0°のときtan0°＝0/1＝0

θが0°から90°へ、限りなく90°に近い値をとるとtanθの値はどうなりますか？

θが90°のときは1/0となってしまうので定義できません。（0で割れないから）

θが180°のときtan180°＝0/（-1）＝0

逆にθが180°から90°へ、限りなく90°に近い値をとるとtanθの値はどうなりますか？