辺の和の最大値と加法定理

質問

まず、問題は
半径１の円に内接し∠A=π/3 であるΔABCについて、三辺の長さの和
AB+BC+CAの長さを求めよ　
というもので、答えは3√3 となっております。

(1)∠ACB=Θとする。外接円の半径はR
(2)AB+AC=2RsinΘ + 2Rsin(120°-Θ)

というアドバイスをもらいましたが、
(2)のだしかたがうまくわかりません。加法定理を用いるそうですが、
試行錯誤しても答えにいたらないので、
なんとか解説してもらいたいと思ってます。
よろしくお願いします＾＾

回答No.4

hiiniichan

もう少し突っ込んでおきますね。

∠Aは60°ということは∠Aの対辺BCは固定値です。
従ってAB+AC=2Rsin(θ)+2Rsin(120°-θ)の値が最大になるθを求めれば
どんな三角形のときにAB+BC+CAが最大になるかがわかります。
途中の計算は省きますが、θ=π/3=60°となります。
要は△ABCが正三角形となるときにAB+BC+CA=3√3で最大となります。

回答No.3

NNori

うむ？問題成立してるか？
∠A=π/3 だから、例えば三角形ABCが正三角形だとすれば、三辺の和は確かに3√3だけど、二等辺じゃない三角定規の形を考えると
３＋√3にしかならないような気がするぞ。
三辺の長さの和の最大値を求めるんじゃないのか？

回答No.2

hiiniichan

加法定理じゃなくて正弦定理じゃないでしょうか。

BC/sin(A) = AC/sin(B) = AB/sin(C) = 2R
これより AB=2Rsin(C) AC=2Rsin(B)
AB+AC=2Rsin(C)+2Rsin(B)
∠Cをθとすると∠Aはπ/3で60°だから∠B=120-θ
よって　AB+AC=2Rsin(θ)+2Rsin(120°-θ)

回答No.1

rom_exe

こんばんは ^^
　正弦定理じゃないかなー，と思いますが，どうでしょう．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86