数III

質問

座標平面上の楕円E:x^2/4＋y^2=1を考える。pを実数とし、点P(4,p)から楕円Eへ引いた二本の接線の接点をそれぞれA,Bとする。また∠APB=θ(0<θ<π)とする。
(1)二本の接線の傾きをpで表せ。
(2)P=1のときtanθの値を求めよ
(3)pを用いてtanθを表せ。
(4)pをp≧0の範囲で動かすとき、θが最大となるときのp及びその時のtanθの値を求めよ。

(4)を教えてください。

とりあえず(3)までは以下の様に解きました。
略解
(1) 接線y=a(x-4)+pとおき、楕円の式に代入して、D=0となるaの値を求めればよい。よって、(2p±√(p^2+3))/6
(2) a=0,2/3 tanA=0 tanB=2/3として
　 tanθ=tan(B-A)=2/3
(3) Aの傾きtanA,Bの傾きtanBとして、
　 tanθ=tan(B-A)=4√(p^2+3)/(13-p^2)

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

3. tanθ = (4/(p^2+11))*√(p^2+3). となりました。
これをf(p)とし、f'(p)=0より、p=√5.
このとき tanθは最大値 1/√2 ととります。

お礼

tanのところの計算を見直したところ計算間違いが発覚しました。
ついでにいうなら、略解のところでtanθ=4(√(p^2+3))/(13-p^2)と書かないと√の解釈で誤解が生じてしまいますね。申し訳ありません。

解答ありがとうございました。