このタイプの数列はどう求められますか？Cn+1＝-Cn+n^2+3

質問

Cn+1+Cn＝n^2+3
n項とn+1項の和（差ではない）がnの２乗プラス3に等しい場合は
どのように一般項を求めるのでしょうか？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

C_{n+1}-(n+1)^2/2+(n+1)/2-3/2=-{C_n-n^2/2+n/2-3/2}
と変形できることを利用して
D_n=C_n-n^2/2+n/2-3/2
とおけばただの等比数列。係数間違ってるかもしれないので確認してね。どうしてこういう変形を思いつくかというと
C_{n+1}+f(n+1)=-{C_n+f(n)}
を満たす二次多項式を求めたからです。

別のやり方として、階差数列を二回取るという方法も有名です。

お礼

Cn+1 -(a(n+1)^2+b(n+1)+c)＝－(Cn -(an^2+bn+c)）
で係数比較をして、a=1/2, b=-1/2, c=3/2を得て解けました。
ありがとうございます。

補足

よろしければ階差数列を2回取る方法を教えてください。

回答No.2

adinat

教えるというほど大したことはもんではないえんですが、
E_n=C_{n+1}-C_n
とおきましょう。で、漸化式でnをn+1とおいた式
C_{n+2}=-C_{n+1}+(n+1)^2+3
から元の式の辺々を引き算して、E_nとE_{n+1}を用いて式を書き直しましょう。合言葉はずらして引く。同じ操作をもう一度行いF_nについての漸化式を立てましょう。これは簡単に解けます。階差数列がわかれば、元の漸化式は解けるというわけです。

雑な説明をすると、二次式が残っているので計算がやっかいだから、二回階差を取る事によってそれを消してやろうというわけです。階差を取ることは微分と似ていて、漸化式の多項式の次数をひとつ下げる効果があります。