数列の計算で

質問

「Q.2*2、3*2の二乗、4*2の三乗、5*4の四乗・・・
この時の初項から第ｎ項までの和を求めよ」という問題で、an＝（ｎ+1）*2のｎ乗というとこまで分かるのですが、Sｎ＝Σ（ｎ+1）*2のｎ乗からの計算がわかりません。Σ（2のｎ乗）はどう計算すればいいですか？

回答No.3

noname#8027 · ベストアンサー

それでは、

　　 Sn=2*2+3*2^2+4*2^3+5*2^4・・・・・+(n+1)*2^n
－）2Sn= 2*2^2+3*2^3+4*2^4+5*2^5・・・・・・・・+(n+1)*2^(n+1)
　　~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
　　-Sn=2*2+ 2^2+ 2^3+ 2^4・・・・・+ 2^n -(n+1)*2^(n+1)
=2+2+ 2^2+ 2^3+ 2^4・・・・・+ 2^n -(n+1)*2^(n+1)　　…(1)
=2+2*(2^n-1)-(n+1)*2^(n+1)　　……………………………………………(2)
=2+2^(n+1)-2-n*2^(n+1)-2^(n+1)
=-n*2^(n+1)

∴ Sn=n*2^(n+1)

（(1)式→(2)式は、No2さんの公式における、初項ｋ＝２、公比ｒ＝２の場合となります）

補足

わざわざありがとうございました。後１ついいですか？「2+2^(n+1)-2-n*2^(n+1)-2^(n+1)」とはなんでこうなるのでしょうか？

回答No.4

noname#8027

=2+ 2*(2^n-1) -(n+1)*2^(n+1)
=2+ 2*2^n -2 -n*2^(n+1)-2^(n+1)
=2+ 2^(n+1)-2 -n*2^(n+1)-2^(n+1)

普通に展開して、2^nは２をn個かけたものなので、2*2^n は、それに更にもう一つ２をかけたものなので、まとめてやると、２を（ｎ＋１）個かけたものとなります。

私は、解答を丸写しするというのでなく、真剣に式を理解する姿勢があれば、解答を書いてもいいのではないかと思っています。
しかし、このＷＥＢの方針上は、もしかしたら、解答そのものの内容なので、不適切と判断される場合があるかもしれません。

お礼

何でも丁寧にありがとうございました。おかげでしっかり理解することができました

回答No.2

proto

Sn-rSn法ですね
名前の通り
Snから2*Snを引いてください
右辺がややこしいですが、丁寧に項を書き並べて考えてください

Σ2^nは単に等比数列の和の公式を使えば良いだけなので
Σ[k=1,n]r^k=r(r^n-1)/(r-1)
(初項:k、公比:kの等比数列の和)
になります

補足

意味はなんとなくわかったのですが、計算にもっていくことができません。最後まで計算していただけないでしょうか？

回答No.1

noname#8027

Sn=2*2+3*2^2+4*2^3+5*2^4・・・・・+(n+1)*2^n
2Sn= 2*2^2+3*2^3+4*2^4+5*2^5・・・・・・・・+(n+1)*2^(n+1)
この２式をじっくり眺めて考えてみてください。がんばってねー。

補足

この２式はわかったんですけど、やっぱり計算に持っていけません。よろしければ最後までの解答を教えていただきたいのですが