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数列です

1,1+2,1+2+3,……,1+2+3+……+n,…… という数列があり、 (1)第k項をkの式で表せ。 (2)初項から第項までの和Snを求めよ。です (1)は普通に考えて連続する自然数の和 n/2(n+1)で解決したのですが…問題は(2)でして自分の回答を書くので間違えているところがあれば指摘をお願いします。 ※Σの正しい書き方がわからないのでここではΣの上の式をn-1で下の式をk=1として省略します。すいません まず1,1+2,1+2+3,……,1+2+3+……+n,……をAnとして Anの初項から第6項までを1,3,6,10,15,21と求めます。 次にSnの初項から第5項までを1,4,10,20,35と求め、 Snの階差数列Bnの初項から第4項までを3,6,10,15を求め、 さらにSnの第2階差数列Cnの初項から第3項までを3,4,5と求めることができます。 ここでCnの一般項{Cn}=k+2 Bn=B1+Σ(k+2)=n^2/2+3n/2+1 よってBnの一般項{Bn}=n^2/2+3n/2+1 したがって同様に{Sn}を求めます。 Sn=S1+Σ(k^2/2+3n/2+1)=n/6(n+1)(n+2)となります。 最終的な答えは合っているのですが途中経過が一切書かれてなく合っているか不安です。 あと、もっとスマートに解ける方法がありましたら是非教えていただきたいです。 お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • hermite
  • ベストアンサー率45% (9/20)
回答No.2

これは群数列と呼ばれる数列の問題です。第n項のAnは求められていますので、 Sn = A1+A2+…+An = Σ^n_k=1 (Ak) = (1/2)*Σ^n_k=1 (k^2+k) = (1/2)*(n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2) = n(n+1)(n+2)/6 となります。

krrsa
質問者

お礼

ありがとうございました。 とてもわかりやすかったです

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その他の回答 (2)

  • Lokapala
  • ベストアンサー率44% (38/86)
回答No.3

Cnの一般項ですが、正しいです。証明も簡単です。そもそもSn-S(n-1)はAnです。このことから、Bn=A(n+1)が言えます。Anは一般項がnの数列の1~nまでの和です。CnはBnの階差数列ですが、これはA(n+1)の階差数列ということもできるでしょう。Anの階差数列の一般項は(n+1)です。よって、A(n+1)の一般項は(n+2)となります。よって、Cn=n+2です。 私が一番スマートだと思う解答を示します。 Sn=ΣAk=Σ{k(k+1)/2}=1/2*Σ(k^2+k)=1/2*[{1/6*n(n+1)(2n+1)}+{1/2*n(n+1)}] この式を整理すると、Sn=n/6(n+1)(n+2)となります。ただし、Σは1~nまでとする。

krrsa
質問者

お礼

詳細までありがとうございました。 理解に時間がかかりましたが力になったと思います。

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  • f272
  • ベストアンサー率46% (8652/18506)
回答No.1

私が採点官で厳しく採点すると,答えはあってるけれど,0点です。なぜなら > さらにSnの第2階差数列Cnの初項から第3項までを3,4,5と求めることができます。 > ここでCnの一般項{Cn}=k+2 としているけれど,これではCnの一般項を想像で推測しているだけですからね。 これが一般的に成立することをはっきり言えば100点なんですけど... > もっとスマートに解ける方法 階差数列Bnは,簡単に(1)から分かるでしょう。

krrsa
質問者

補足

としているけれど,これではCnの一般項を想像で推測しているだけですからね。 これが一般的に成立することをはっきり言えば100点なんですけど... >どうしたらいいんでしょうかね?? 高校生の知識でできますか?

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