数Bの数列

質問

今日も数Bをやっていて、分からない事が
多々あったので、教えて下さい。

(1)問　次の数列の第ｎ項，および初項から
　　　第ｎ項までの和を求めよ。

　　　(an)１，3，6，10，15，21，・・・・・・

　(bn)2, 3, 4, 5, 6,・・・・・
　　　bn = n+1
n>=2のとき
　　　an=1 + Σ(k+1)
=1 + 1/2(n-1)n + (n-1)

　ここからどう計算したら良いのか分かりません
　解答はan=1/2n(n+1)です。
　その後の初項から第ｎ項までの和は計算は
　できましたので、説明はいらないです。

(2)問　次の数列の第ｎ項を求めよ。

　　　1,　1+2,　1+2+4,　1+2+4+8,　・・・・・・

　　　第ｎ項は ２(ｎの2乗)-1
　となるんですが、どうすればそう
　求められるんですか？
　私は解答を見るまで全く見当がつきません。

(3)問　　次の数列の第ｎ項，および初項から
　　　　第ｎ項までの和を求めよ。

　　0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,・・・・・・

9(1/10+1/10<2乗>+1/10<3乗>+1/10<4乗>+・・・+1/10<ｎ乗>)

までは分かるんですが、次に

　1-(1/10)<n乗>

に何でなんでなるのかよく分かりません。
そのあとのΣの計算も分かりません・・・・。

３問もつらつらと並べてしまいましたが、
どれかひとつでも
教えて頂けると嬉しいです。
見にくいですが、宜しくお願いいます。

回答No.2

debut · ベストアンサー

No1の方のおっしゃる通りでできます。

(1)の変形がわからなければ　1/2(n-1)n　を 1/2n<2乗>-1/2n　と展開して整理して因数分解するのもいいでしょう。

(2)は、第４項を見て「２ずつかけてできた数列の和たな」と気づくことがポイントです。数列の基本は、次々と同じ数をたす(等差)と次々と同じ数をかける(等比)です。

(3)の後半部分、ｎ項までの和ですが、
　　Σ{1-(1/10)<n乗>}=Σ1-Σ(1/10)<n乗>
として、Σ1=n　であることと
　Σ(1/10)<n乗>は初項1/10、公比1/10の等比数列の和と考えて 1/9{1-(1/10)<n乗>}　と計算できれば答えがみつかります。

お礼

(1)は因数分解でも解く事ができるんですね！
(2)のヒント（ポイント!?）がとても分かり易く、
そう考える事でだいたい分かりました。
詳しい解説ありがとうございました。

回答No.3

mickel131

私は（3）だけお答えします。別解です。
0.1 = 1/10 = (1/10)^1
0.01 = 1/100 = (1/10)^2
0.001 = 1/1000 = (1/10)^3
0.0001 = 1/10000 = (1/10)^4
と準備しておきます。
0.9 =1 - 0.1 = 1- (1/10)^1
0.99 =1 - 0.01 = 1- (1/10)^2
0.999 =1 - 0.001 = 1- (1/10)^3
0.9999 =1 - 0.0001= 1- (1/10)^4
4番目の　0.9999　は 9 が４個並んでいるでしょう。
そのとき、1- (1/10)^4　になるんです。

お礼

この別解のおかげで、なぜ1-(1/10)<n乗>
になるのか明確に分かりました！
すごく嬉しいです。
丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.1

sunasearch

（１）
1 + 1/2×(n-1)n + (n-1)
＝1/2×(2 + n^2 - n + 2n - 2)
=1/2×(n^2+n)

（２）
第ｎ項＝１＋２＋４＋８＋...＋２^(n-1)
ですから、等比数列の和の公式を使いましょう。

（３）
1/10+1/10<2乗>+1/10<3乗>+1/10<4乗>+・・・+1/10<ｎ乗>)
これも、
初項1/10、公比1/10の等比数列と考えて、和の公式を使いましょう。

お礼

（１）の解説が詳しくて分かりやすかったです。
おかげで解く事ができました！
素早い対応ありがとうございました。
助かりました。