数列

質問

こんばんは！！いつも質問させていただいてるfumika1006です（＾－＾）今日もまた質問させていただきます（＾＾）vよろしかったら回答お願いします！！
ではでは問題です！

＊正の偶数を小さいものから順に並べた数列2,4,6,8,・・・について考える。

（１）連続して並ぶ５項のうち、初めの３項が次の２項の和に等しければ５項のう中央の項はアイである。

（２）連続して並ぶ2n+1項のうち、初めのn+1項の和が次のn項の和に等しければ、2n+1項のうち中央の項はウn^2+エである。

（３）連続して並ぶ５項のうち、初めの３項の２乗の和が次の２項の２乗の和に等しければ、５項のうちの中央の項はオカである。

（４）連続して並ぶ2n+1項のうち、初めのn+1項の２乗の和が次のn項の２乗の和に等しければ、2n+1項のうち中央の項はキn^2+クnである。

ア～クの値を求めよ。

以上です！！それで私が求めた回答ですが！！

（１）数列2,4,6,8,・・・は公差２より
　　　　k-4,k-2,k,k+2,k+4とおく。
よって
　　　（k-4)+(k-2)+k=(k+2)+(k+4)
3K-6=2k+6
k=12
　∴　中央の項は１２・・・アイ

（２）わかんないです（＾＾；

（３）同じく数列2,4,6,8,・・・は公差２より
　　　　k-4,k-2,k,k+2,k+4とおく。
よって
　　　（k-4)^2+(k-2)^2+k^2=(k+2)^2+(k+4)^2
　　 k^2-24k=0
k(k-24)=0
k=0,24
∴　ｋ=24・・・オカ

（４）わかんないです（；－；）

以上！！（２）（４）を教えてください。また（１）（３）はこれでいいのでしょうか？？
回答お願いします。よろしくです！！

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

fumikaさん、こんにちは！また頑張っていますね！！
さて、（１）（３）はそれでいいと思います。

＞（２）連続して並ぶ2n+1項のうち、初めのn+1項の和が次のn項の和に等しければ、2n+1項のうち中央の項はウn^2+エである。

（１）はうまいこと考えましたね！！それと同じようにやってみましょう。

真ん中をｋとおいて、２ｎ＋１項でるから、
ｋ－２ｎ、ｋ－２（ｎ－１）、・・・ｋ、・・・ｋ＋２ｎの２ｎ＋１項になります。

最初のｎ＋１項の和は、
Σ{k-2(n+1)+2t}←ただしｔは１からｎ＋１まで足す
=(n+1)k-2(n+1)^2+(n+1)(n+2)
=(n+1){k-2(n+1)+n+2}
=(n+1)(k-n)・・・・あ

あとのｎ項の和は
Σ(k+2t)←ただし、ｔは１からまで足す
=kn+n(n+1)
=n(k+n+1)・・・・い

あ＝い、であるから
(n+1)(k-n)=n(k+n+1)
(n+1)k-nk=n(n+1)+n(n+1)
k=2n(n+1)・・・・・答え

＞（４）連続して並ぶ2n+1項のうち、初めのn+1項の２乗の和が次のn項の２乗の和に等しければ、2n+1項のうち中央の項はキn^2+クnである。

これも同様にすればいいと思います。
真ん中をｋとおいて、２ｎ＋１項でるから、
ｋ－２ｎ、ｋ－２（ｎ－１）、・・・ｋ、・・・ｋ＋２ｎの２ｎ＋１項になります。
この二乗はそれぞれ、
（ｋ－２ｎ）＾２、｛ｋ－２（ｎ＋１）｝＾２・・・ｋ＾２、・・（ｋ＋２ｎ）＾２
ですから、最初のｎ＋１項の和は
Σ(k-2t)^2←ただしｔは１からｎまで＋k^2
=Σ(k^2-4kt+4t^2) + k^2
=k^2*n -2kn(n+1) +4Σt^2 +k^2・・・・う

つぎのｎ項の和は
Σ(k+2t)^2←ただし、ｔは１からｎまで
=Σ(k^2+4kt+4t^2)
=k^2*n +2kn(n+1) +4Σt^2・・・・え

う＝え、だから
k^2*n -2kn(n+1) +4Σt^2 +k^2=k^2*n +2kn(n+1) +4Σt^2
k^2=4kn(n+1)
k{k-4n(n+1)}=0
k>0だからk=4n(n+1)・・・・答え

となって求められます。
fumikaさんが真ん中をｋとおいたので、Σの添え字をｔにしました。
計算がややこしいですが、もういちどやってみてくださいね！！
多分できると思います！！

お礼

毎回回答ありがとうございます！！毎回すごく感謝です（＾－＾）ホントありがとうございました！！受験まであと二ヶ月がんばります（＾＾）v

回答No.3

Rossana

(2)一般項はa_k=2k (k=1,2,…)と表せるので、
条件は下のようにかけますね。
　　2k+2(k+1)+…+2(k+n)=2(k+n+1)+…+2(k+n+n)
左辺は初項2k,項数n+1、末項2(k+n)の等差数列、右辺は初項2(k+n+1)、項数n、末項2(k+n+n)の等差数列の和なので、式を簡単化して
(1/2)(n+1){2k+2(k+n)}=(1/2)n{2(k+n+1)+2(k+n+n)}
(n+1){2k+n}=n{2k+3n+1}
式を展開すると、
　　　　　　　　　 k=n^2
となります。
　したがって、中央の項a_(k+n)は
　　　　　a_(k+n)=2(k+n)=2(n^2+n)=2n^2+2n
　　　　　　ウ…2、エ…2n
って所かな。
　忙しいので(2)だけにさせて頂きます。(4)も同じように考えればできると思います。他の(1),(3)は暇が出来たら見ます。

お礼

すぐに回答ありがとうです！！なるほど！！こうやるのですね（＾＾）v
ありがとうございました（＾－＾）感謝です（*^-^*)

回答No.2

ruburubu

（２）ｘ－２ｎ，・・・，ｘ－２，ｘ，ｘ＋２，・・・，ｘ＋２ｎから成る
　　２ｎ＋１項を考える。
　　最初のｎ＋１項の和は、（ｎ＋１）／２　×　（ｘ－２ｎ　＋　ｘ）
　　次のｎ項の和は、ｎ／２　×　（ｘ＋２　＋　ｘ＋２ｎ）
　　であり、両者が等しいから、（ｎ＋１）（ｘ－ｎ）＝ｎ（ｘ＋ｎ＋１）
　　よって、ｘ＝２ｎ＾２＋２ｎ

　　（１）はｎ＝２のときで、項数５　中央値＝２×２＾２＋２×２＝１２

（４）（２）と同様の数列を考える。
　　Σ（ｘ－２ｋ）＾２　＋ｘ＾２　＝　Σ（ｘ＋２ｋ）＾２　　（ｋ＝１～ｎ）
　　Σ（ｘ＾２－４ｘｋ＋４ｋ＾２）＋ｘ＾２　
　　　　　　　　　　　　　　＝Σ（ｘ＾２＋４ｘｋ＋４ｋ＾２）
　　ｘ＾２＝８ｘΣｋ＝８ｘ・ｎ（ｎ＋１）／２
　　ｘ＜＞０より
　　　ｘ＝４ｎ（ｎ＋１）＝４ｎ＾２＋４ｎ

　　（３）はｎ＝２のときで、ｘ＝４・２・３＝２４

お礼

すぐに回答ありがとうです！！なるほど！！こうやるのですね（＾＾）v
感謝です（*^-^*)分かりやすくておバカな(笑）私でも理解できました！！ありがとうございました（＾－＾）

回答No.1

oshiete_goo

(1)と(3)は全く素晴らしいです.
(2)と(4)もその応用です. 中央をkとして同様に途中までやってみてはどうでしょう．
ポイントは，
(2)ｋ－2　と　k＋2　というように，対応する項を組み合わせていくことでしょう．
(4)は　(a+b)^2－(a-b)^2＝4ab の応用？

お礼

すぐに回答していただきありがとうございます（＾－＾）（２）（４）はやり方はわかったのですがいまいち式の立て方がよく分からないとゆーか（＾＾；・・・でもやってみます！！ホントに回答ありがとうでした！！