n＝１のとき（数列）

質問

階差数列の一般項を求めるとき「ｎが２以上のとき」、と断って一般項を求め、その後、必ずｎ＝１のときその一般項が成り立つか調べますが、何故でしょう。
ｎ＝１のとき成り立たないことがあるからなのでしょうか。とすれば、成り立たないサンプルを挙げて下さい。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

titetsuさん、こんにちは。
これは、相当に難しい問題であるみたいですよ。
「階差数列」で、ちょっと検索してみましたが、該当するページが見つかりました。
ここでは、n=1のとき、成り立たない反例として、

a[n]=1,3,4,5,6,・・・・

のような数列が挙げてあります。

この階差数列b[n]=a[n+1]-a[n]
をとると、
b[1]=2,b[n]=1(n≧2)
のようになっています。
a[1]=1
ですから、n≧2のとき、一般項を求めると
a[n]=a[1]+Σ(k=1 to n-1)b[k]
=1+{2+1+1+・・・+1}←(n-1)項分
=n+1

ところが、n=1のときを代入すると、a[1]=2となるが
実際はa[1]=1なので成り立っていない。

という例が載っています。
一般的には、n=1のときも成り立つはずなのですが、このように
成り立たない数列も存在する、ということでしょうか。
参考URLは、かなり難しい議論がなされているようです。
ご参考になればうれしいです。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/kaisa/kanazawa.htm

お礼

アドバイスと参照H.P.をありがとうございます。
一般項が１／ｎのとき、n=1を代入できないと言う話ですね。なるほどでした。疑問に沿ったアドバイスありがとうございました。

回答No.4

pocariblue

a[1]＝1,　a[n+1]＝2a[n]（ただし、ｎ＝1,2,3,・・・）
という数列{a[n]}の階差数列{b[n]}（ただし、ｎ＝1,2,3,・・・）を例にとります。

　b[n]＝a[n+1]－a[n]
　　　＝2a[n]－2a[n-1]
　　　＝2(a[n]－a[n-1])
　　　＝2b[n-1]

このように式変形することで、
数列{b[n]}が、公比２の等比数列であることがわかります。

ただし、このような式変形が可能なのは、
「ｎが２以上の整数のとき」に限ります。
「ｎ＝１のとき」を除外して話を進めないと都合が悪いのです。

なぜなら、もしも、この段階で「ｎ＝１のとき」を含めてしまうと、
上記の式変形の中に、a[0]，b[0]という、
どこにも定義されていない項が出現することになってしまうからです。

ですから、そのような矛盾を回避するために、
「ｎ＝１のとき」を場合分けせざるを得ないのです。

その結果、「ｎ＝１のとき」を後回しにして、とりえあず、
＞「ｎが２以上のとき」、と断って一般項を求め、
＞その後、必ずｎ＝１のときその一般項が成り立つか調べ
という解答手順になります。

お礼

回答ありがとうございます。
ｎが２以上のときに限って進める以上、n=1は後で確認せざるを得ない、ということですね。
求めた一般項って不思議とn=1のとき成り立ってしまいますよね。

回答No.3

hinebot

fushigichanさんは、難しく考えすぎているような…。
（確かに反例の説明はわかりますけど）

添え字を[ ]でくくることにします。

数列｛a[n]｝に対して、階差数列｛b[n]｝の定義は

b[n] = a[n+1] - a[n]

ですね。

b[1] = a[2] - a[1] ですから、数列｛a[n]｝の第2項a[2]が
必ず必要になります。

｛b[n]｝だけ考えれば、n=1 でもよさそうですが、｛b[n]｝は｛a[n]｝から作ったものなので、
ｎ≧2 でないと、 （つまり｛a[n]｝の第2項以上が存在しないと）｛b[n]｝　が
成立しないからです。

こういうことだと思いますが。

お礼

アドバイスありがとうございます。
問題が成立している限り、n=1のとき必ず一般項が成り立つと言うことですね。

回答No.1

he-goshite-

あなたが今取り組んでいる数列を題材にして質問すると，話がより具体的になると思うのですが，
質問が一般的過ぎますね。とはいえ・・・

たとえば，数列の隣接する項の間で，
ａn＝ａn-2 ＋ ａn-1
というような関係があるとき，
n＝1　の時には，（ｎ＝2 のときもですが）
ａn-1 や ａn-2 というものが意味を持たないでしょ？

お礼

解答ありがとうございます。
　数列の一般項を求める問いで、階差数列を用いた解答をする際（ｎが2以上でと断ってΣでk=1からk=n-1までの計算の後）求められた一般項がn=1のとき、問いに与えられたａ1の値と一致するのを確認するのは何故か、必ず一致することが分かっていればわざわざ「これはn=1のときも成立」などと確認する内容を記述する必要がないのではないのか、と言う疑問でした。
　言葉足らずな質問で煩わしてしまったことをお詫びします。m(__)m