二次関数について

質問

二次関数の問題が解けません。
y=x2-2xをy=a(x-p)2+qの形に変形せよっという問題なんですが
解き方がわかりません。
xの後の数字は累乗などです。

解き方について詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.7

lick6

これは平方完成を聞く問題ですね。
一般化しておきます。
y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)
　= a(x + b/2a)^2 - b^2/4a + c
これを p = b/2a, q = -b^2/4a + c としたのが問題の答えとなります。
文字だと複雑そうに見えますが、数字でやれば簡単です。
あとは演習をつんで慣れれば小学生の足し算みたいな感覚でできます。（いいすぎか
平方完成はこれからの２次関数の基本となっていくので素早く正確にできるようにしておくといいでしょう。

回答No.6

tekcycle

以下ａｂｃｐｑｒの使い方はその問題と違いますので注意してください。

逆から考えるんです。
ａ(ｘ＋ｂ)＾2＋ｃを展開してください。
ａ・ｘ＾2＋２ａｂ・ｘ＋ａｂ^2＋ｃ
となりますよね。
ここでまずａを決めてやります。
ｘ一次の項の係数は２ａｂと変数二つでよく判りませんし、
ｘ０次の項は変数が三つなので更に判りません。
ところが、ｘ二次の項の係数はそのまんまａですので、比較するとａが決まります。

すると、ｘ一次の項の係数同士を見比べてｂが決まるし、ｘ０次の項を比べるとｃが決まります。

解らなくなったらここまで戻ってください。

実際には、
ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒの式を見て、まずｘ二次の項に注目し、全体をその係数ｐでくくります。
上のやり方で言うと、ａを決定していることになります。
→ｐ｛ｘ^2＋(ｑ／ｐ)ｘ＋ｒ／ｐ｝
そして今度はｘ一次の項に注目し、上のやり方で言うと、(２ａｂ／ａ)つまり、２ｂのｂを作ってやります。ここがコツ１です。
→ｐ｛ｘ^2＋２(ｑ／２ｐ)ｘ＋ｒ／ｐ｝・・・(1)
すると、
→ｐ｛ｘ＋(ｑ／２ｐ)｝^2＋何とか
と言う形に書けるはずなんです。
あとは何とかのところを帳尻合わせしてやるのです。これがコツ２です。
　ｐ｛ｘ＋(ｑ／２ｐ)｝^2＋何とか
＝ｐ｛ｘ^2＋２(ｑ／２ｐ)＋(ｑ／２ｐ)^2｝＋何とか・・・(2)
＝ｐ｛ｘ^2＋２(ｑ／２ｐ)ｘ＋ｒ／ｐ｝(・・・(1)より)
(1)と(2)を見比べて、何とかの所を計算すればよいのです。
具体的には(2)ではｐ｛～～＋(ｑ／２ｐ)^2｝が余分に生じますので、まずこれを引いてやります。
余分に生じさせておいて後からそれを引くのがコツ２の正体でしょう。
(1)→ｐ｛ｘ^2＋２(ｑ／２ｐ)＋(ｑ／２ｐ)^2－(ｑ／２ｐ)^2＋ｒ／ｐ｝
　　　　　　　　　　　　　　　 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＝ｐ｛ｘ^2＋２(ｑ／２ｐ)＋(ｑ／２ｐ)^2｝－ｐ・(ｑ／２ｐ)^2＋ｐｒ
＝ｐ｛ｘ＋(ｑ／２ｐ)｝^2－｛(ｑ^2)／(４ｐ)＋ｒ｝

コツ１コツ２は暗記事項として良いと思います。こういうズル？は後の数学でもたまに使う手口だと思います。

(どこかで計算間違ってたらごめんなさい。概略はこんな所です。)

その問題は平方完成と言って後に重要になってくるテーマです。
教科書にも載っていると思うのですが．．．。
教科書に載っているような基礎を理解しないうちに問題だけ解こうとしてもそれは無理です。
その問題が解けないのは、問題が難しいからでもあなたが数学を苦手としているからでもなく、基礎をすっ飛ばしているからです。
あるいは、今度の授業でやるから考えてこいという宿題なら他人に聞いてはいけないんでしょうね。

回答No.5

leap_day

累乗は<>で示します
y=a(x-p)<2>+q
を展開すると
y=ax<2>-2apx+ap<2>+q
になりますよね？

このことから上のy=x<2>-2x　の場合だと
a=1; -2ap=-2; ap<2>+q=0;
ということになって　a=1; p=1; q=-1;
になります。
したがって　y=(x-1)<2>-1　という形に変形されます
↑は考え方ですのでテストで書くと多分×だね（＾＾）

ですので・・・
y=ax<2>+2bx+c　を変形するには
y=a{x<2> + (2b/a)x} +c
として(x+p)<2>=x<2>+2px+p<2>ですから、上の場合のｐは(b/a)ということになりますよね？
ですがうえにはp<2>の部分がありませんので足します
y=a{x<2>+2(b/a)x+(b/a)<2>} + c (ここは書かない）
しかし・・・これでは足した分だけ計算がおかしくなるので{ }の外で引きます
y=a{x<2>+2(b/a)x+(b/a)<2>}+c -a(b/a)<2>
{ }の前にaがあるのでかけて引くのを忘れないように!!
これで
y=a{x+(b/a)}<2>+c- b<2>/a

ですので、質問の場合だと
y=x<2>-2x
={x<2>+2*(-1)x+(-1)<2>}-1 (ここはわかりやすく書いたので　x<2>-2x+1-1でもいいです）
=(x-1)<2>-1　　となります

ちなみにaに数値が入ってるとき
y=2x<2>+8x-1
=2(x<2>+4x)-1
=2(x<2>+2*2x+2<2>)-1 -2*2<2> {=2(x<2>+4x+4)-1-8}
=2(x+2)<2>-9　　となります

回答No.4

neKo_deux

> x2=ax2
> -2x=-2axp
> 0=ap2+q
> って形ですかね

こっちの考え方ですが、何でも「=」で繋ぐのは正しくありません。

y= x2 - 2x
と、
y=△x2 + △x + △
の２つの式の比較で、
xについての恒等式(xがどんな値をとっても等しくなる式)だから、係数が同じだって事でa,p,qを決めます。

--
何でも「=」で繋いじゃうのは、
Aさんは△△の書類を作った。
Bさんも△△の書類を作った。
だから、
AさんとBさんの年齢は同じ。
AさんとBさんの身長は同じ。
AさんとBさんの顔は同じ。
なんて無茶な理論展開です。

回答No.3

noname#69788

x2の係数からa=1ということは、すぐ分かると思います。

回答No.2

neKo_deux

> y=x2-2xをy=a(x-p)2+qの形に変形せよっという問題なんですが

y=a(x-p)2+q

の式を、目的の式と比較できる形に変形してみると、a,p,qのどれか1つでも決まるかも。

補足

x2-2x=a(x-p)2+qってかたちですかね？
それとも
x2=ax2
-2x=-2axp
0=ap2+q

って形ですかね

回答No.1

noname#69788

y=x2-2x
=x2-2x+1-1
=(x-1)2-1