2次関数の頂点について。

質問

前回の質問について引き続きです(汗;;)
本当に数学というか、既に算数の時点でつまづいていて、どうかお助けください。

問題：
y=x^2-○x+○　（^2は二乗、○は数字です。）

↑をy=a(x-p)^2+qの形に変形し、頂点を確認せよ。

前回の質問で何とか答えらしきものは見つけ出せたのですが、今度はどうやって頂点を確かめればいいのかが謎になりました。
しかも、自分でも導き出した答えがあっているのかどうかも・・・謎。

完璧文系人間で古典などは大好物なのですが、数学は壊滅的です。

こんな私でも理解できるような解答をしていただければ幸いです。

回答No.5

KEIS050162 · ベストアンサー

ｙ＝ａｘ＾２－ｂｘ＋ｃ　を　ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）＾２＋ｑ　に変形するのを平方完成と言います。

二次関数の登竜門だと思ってください。

理解するには、まずはグラフを書いてみるのが良いと思います。

１）放物線の向き

二次関数のグラフは放物線となりますが、a　が正　か　負　かで放物線が下に凸になるか、上に凸になるかが決まります。

簡単な例では、下記の様になります。（方眼紙などに点をプロットしていくと放物線になるのが分かると思います）

ｙ＝ｘ＾２　　ｘ＝０の時ｙ＝０、ｘ＝１の時ｙ＝１、ｘ＝２の時ｙ＝４…
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝－１の時ｙ＝１、ｘ＝２の時ｙ＝４…

ｙ＝－ｘ＾２　　ｘ＝０の時ｙ＝０、ｘ＝１の時ｙ＝－１、ｘ＝２の時ｙ＝－４…
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝－１の時ｙ＝－１、ｘ＝２の時ｙ＝－４…

２）頂点

実数の領域では、二乗して負になる実数はないので、（ｘ－ｐ）＾２の部分は必ず０以上になります。言いかえるとこの部分が０の時が最小値もしくは最大値となります。即ち頂点ですね。
最大値となるか、最小値となるかは１）の放物線の向きで決まります。

ａが正の時は、下に凸なので、（ｘ－ｐ）＾２＝０　になる　ｘ座標で　ｙは最小値となり、この時のｙの値は、ｑになります。

ａが負の時は、上に凸なので、（ｘ－ｐ）＾２＝０　になる　ｘ座標で　ｙは最大値となり、この時のｙの値は、ｑになります。

３）　ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）＾２＋ｑ　のグラフ

１）、２）から　この平方完成を行うことによって、頂点の座標と放物線の向きが分かることになり、二次関数を考える上でとても重要な特徴を知ることが出来ます。

４）　平方完成の導き方

ｙ＝ａｘ＾２－ｂｘ＋ｃ　を平方完成にするには、ともかく（ｘ－ｐ）＾２の形を無理やりにでもひねり出してあげれば良いです。

ｙ＝ａ（ｘ＾２－ｂ／ａ・ｘ）＋ｃ

ここで（）内を（ｘ－ｐ）＾２に置き換えてみます。

（ｘ－ｂ／２ａ）＾２　

これを展開すると、

ｘ＾２－ｂ／ａ・ｘ＋（ｂ／２ａ）＾２

となります。前の　ｘ＾２－ｂ／ａ・ｘ　は良いですが、　（ｂ／２ａ）＾２　が余分ですので、これを引いてしまいます。

ｙ＝ａ｛（ｘ－ｂ／２ａ）＾２　－　（ｂ／２ａ）＾２｝　＋　ｃ

｛｝を外して整理します。

ｙ＝ａ（ｘ－ｂ／２ａ）＾２　－　ａ・（ｂ／２ａ）＾２　＋　ｃ

ｙ＝ａ（ｘ－ｂ／２ａ）＾２　－　ｂ＾２／４ａ　＋　ｃ

記号で書くとちょっと難しいかも知れませんが、簡単な例題でみてみます。

ｙ＝ｘ＾２－４ｘ＋６
ｙ＝（ｘ－２）＾２－４＋６
ｙ＝（ｘ－２）＾２＋２　　…　頂点　（２，２）　で下に凸の放物線

ｙ＝－３ｘ＾２＋６ｘ＋１
　＝－３（ｘ＾２－２ｘ）＋１
　＝－３｛（ｘ－１）＾２－１｝＋１
　＝－３（ｘ－１）＾２＋３＋１
　＝－３（ｘ－１）＾２＋４　　…　頂点　（１，４）で上に凸の方物線

ご参考に。

お礼

とても丁寧にお伝えくださって、ありがとうございます。
これを参考にがんばってみます!!

回答No.4

tomokoich

先ほどの回答で途中式の変形ミスしてました・・。
気づいた時は締め切り後だったもんで失礼しました
それで先ほどの例をもう一度使います

y=x^2-4x+1
の頂点を求めてみますと
y=x^2-4x+(4-4)+1
=(x^2-4x+4)-4+1
=(x-2)^2-3
と変形できます

この時の頂点はx=2,y=-3になります
ようは質問者さまが書いてある一般的な形y=a(x-p)^2+q---(1)の場合頂点は(p,q)になります
そのため(1)の形に式を変形させます

導き出した答えが合っているかどうかは補足にでも書いていただければいいかと・・

お礼

引き続きの返答、ありがとうございました。
私の導き出す答えが合っているかどうかが正確に分かるのはおそらく数週間後になってしまうと思うのですが・・・。
tomokoichさんの回答を糧にがんばってきます!!
返答、ありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

あっ、頂点でしたね。
ｙ＝（ｘ－ｂ／２）＾２－ｂ＾２／４＋ｃ
のグラフの頂点は
（ｂ／２、－ｂ＾２／４＋ｃ）
となります。

お礼

No.1・No.3の回答、共にありがとうございました。
こんな短時間のうちに返答が寄せられていて本当にうれしいです。
gohtrawさんの心遣いに感謝しています。
ありがとうございました。

回答No.2

spring135

＞完璧文系人間で古典などは大好物なのですが、数学は壊滅的です。

こんな私でも理解できるような解答をしていただければ幸いです。

なぜ壊滅的になるのかよく考えてください。

私が思うにはとにかく逃げようとしているからだと思います。

一つの試みとして〇を-10,-9,-8,-7,....,0,1,2,3....,10

と変えて、ひたすらグラフを描いてみてください。そうすれば頂点とは何かがわかるでしょう。

お礼

返答ありがとうございました。
あなた様のおっしゃるとおりで、どうにも苦手意識が先行して数字を見るだけで逃げたくなってしまっています・・・;;
どうにか克服しなければと思っていたのですが今日まで至ってしまって、お恥ずかしい限りです。
spring135さんのお言葉を胸に、もう一度がんばってみます。

回答No.1

gohtraw

ｙ＝ｘ＾２ーｂｘ＋ｃ　だとします。・・・（１）
ここで、
（ｘ－ｂ／２）＾２＝ｘ＾２－ｂｘ＋ｂ＾２／４
ですから、これを変形（移項）すると
ｘ＾２－ｂｘ＝（ｘ－ｂ／２）＾２－ｂ＾２／４　・・・（２）
です。（１）と（２）を比較すると（１）は（２）にｃを加えたものなので
ｙ＝（ｘ－ｂ／２）＾２－ｂ＾２／４＋ｃ
となります。