2次関数の平行移動の証明

質問

どうしても納得できないので質問させていただきます。
2次関数y=ax^2をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した放物線の方程式が
y-q=a(x-p)^2
であらわされることを証明せよ。という問題なのですが、証明は

点(x,y)をx方向にp、y方向にqだけ平行移動した点を(X,Y)とおくと、
X=x+p
Y=y+q
が成り立ち、これを変形すると
x=X-p
y=Y-q
となるので、この式をy=ax^2に代入すると
Y-q=a(X-p)^2
ゆえに求めるものはy-q=a(x-p)^2

となっているんですが、最後の
Y-q=a(X-p)^2・・・(*1)
が
y-q=a(x-p)^2・・・（*2）
に変換される理由がよくわかりません。こちらの解釈では、
(*1)が表すのは平行移動前の放物線を(X,Y)を使って言い換えた式。
(*2)も同じように考えてy-q=Y、x-p=Xすなわちy=Y+q、x=X+q、なのでY=aX^2という式を平行移動したという式になるのではないか、
という感じです。わかりにくいかもしれませんが、自分でもよく説明できずにいます。

なんかすごい根本的なことを勘違いしてるような気がして不安です。どなたか説明していただきたいです。

回答No.3

hugen · ベストアンサー

単なる書き換え　とは、大文字 X,Y を　小文字 x ,yに書き換えたということです。
書き換えた　y-q=a(x-p)^2　の　x,y は　X,Y のことであり
y=ax^2　の　x,y 　とは異なる。

書き換えをしないで解くとすれば、
平行移動した放物線上の点を　(x,y) とすると
元の点は　(x-p,y-q)
これが、y=ax^2　上にあるから　x,y　に　x-p,y-q　を代入すると
y-q=a(x-p)^2　つまり　　y=a(x-p)^2+q

お礼

書き換えをしない式を見るとなんとなくイメージをつかめた気がします。後は細かい部分は自己解決できそうです。ご回答ありがとうございました。

回答No.2

hugen

y=ax^2＝Y-q=a(X-p)^2　　　ではあるが
Y-q=a(X-p)^2　　の表わすグラフは、点(X,Y) のつくるグラフ
y=ax^2　　　　　の表わすグラフは、点(x,y) のつくるグラフ
(x,y)≠(X,Y) 　なので、表わすグラフは違う。

また、
Y-q=a(X-p)^2　→　y-q=a(x-p)^2　　　は、単なる書き換え。
Y=y　、X=x　　という意味ではない。

お礼

えっと(*2)の説明で使われてるX,Yについての指摘ですよね？ありがとうございます。本当はY'とかX'の方が良かったですね・・・。
その単なる書き換えというのを数式から見てもイメージできるようにしたいのですが、どうも腑に落ちないところがありまして・・・。

回答No.1

shred

えっと
写像という概念は知っていますか？
結局これらの式は数と数の対応関係を示しているだけなんですよ。
x,yとかは道具に過ぎないと思ってしまう方がわかりやすいです。
なので写像的には答えは大文字X,Yを使って記述しても構わないと
思いますが、今回はあらかじめx-y座標系が与えられている
のでこれらの文字に直して元のグラフとの平行移動関係を明らかに
しているだけです。

お礼

写像というのをしっかりとは理解できてないですが、(X,Y)座標を例にとってその関係性から(x,y)に入れ替えたということだとしたら、それは何となく想像できるんですが、確証が持てないというか・・・。
ちょっとしたことを勘違いしてる気もするのですが、深く考えすぎているのでしょうか・・・？