複素数での極限と絶対値

質問

複素数での極限と絶対値

他人の質問への便乗で大変申し訳ないのですが、
http://okwave.jp/qa/q2649820.html
でのNo2さんの良回答からの引用で質問です。

回答中の

exp(Ax)で x->∞としたときだけが問題になります．
さて，xは実数だということを忘れないように.(A=-(1+ai)とおいていたので)
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
ここで，|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって，
exp(Ax) -> 0 (x->∞)

という部分で、

=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
において極限を考えるときに、
|cos(ax) - i sin(ax)| = 1
と考えられるのはなぜなんでしょうか？
絶対値でないものを絶対値で考えられる理由がわからず困っています。

複素数の知識は全くと言っていいほど無いので、検討違いな質問でしたらすみません。
どうかご回答よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

＞ 絶対値でないものを絶対値で考えられる理由がわからず困っています。

もともと、lim[x→+∞] exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) を求めたい訳です。
lim[x→+∞] | exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) | = 0 であることが言えれば、
lim[x→+∞] exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) = 0 が言えますね？　　　　←[1]
絶対値は、連続関数ですから。

計算してみると、
lim[x→+∞] | exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) |
= lim[x→+∞] exp(-x)　　　　←[2]
= 0
です。

| cos(ax) - i sin(ax) | = 1 は、[2] へと変形するのに使ったのでした。
絶対値で考えられる理由は、[1] なのですが。

お礼

大変よくわかりました、本当にありがとうございます。

回答No.3

noname#119424

(cos(ax)-i sin(ax))の絶対値が1というのが分からんの？
それはおいといて
そもそもf(x)=g(x)＋ih(x)　と考えた場合に(g(x)とh(x)は実関数)
|g(x)|≦|f(x)| |h(x)|≦|f(x)|
が成立することに気付いて理解できていれば今の場合も分かるはず。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「考えられる」も何も, a と x が実数なら
|cos(ax) - i sin(ax)| = 1
です. 絶対値がついているのは, 極限を考えるから. ε-δ が念頭にあればわかる.

お礼

ご回答ありがとうございました。