積分区間と積分するもの、具体的な計算

質問

F=∫x dx　（0～2まで積分）
があったとします。

これを
F=∫lnx d(lnx)としたとき積分範囲は(0～2)のままなのでしょうか？

また、この2式は同じこと（どちらも値がF）を表しているようなのですが、なぜそうなるのでしょうか？

次に具体的な計算について質問ですが

Ｆ＝[1/{√(2π)*ln2}] *∫(積分区間0～x) exp[-(lnx-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnx)

この計算はどうするのでしょうか？
積分区間0～xについては、ｘ＝0.4で計算お願いします。
ちなみに上の式は、元の式で与えられてる値は代入したもので、もとの式の形をわかって頂くために、あえて値を代入しただけで計算してまとめておりません。

回答No.1

stomachman

> F=∫lnx d(lnx)としたとき積分範囲は(0～2)のままなのでしょうか？

ままなのです。

定積分なので、変数をxからtに書き換えても同じです。
F=∫lnt d(lnt)　（積分範囲はlnt=0～2）

　( t=0～2ではないことに注意！おそらくここで混乱なさってるんでしょう。）そして改めて

x = lnt

とおけば

F=∫x dx　（積分範囲はx=0～2）

となる。元通りですね。

> ∫(積分区間0～x) exp[-(lnx-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnx)

これは式そのものが駄目です。積分区間の上限xが積分変数lnxに出てくるxと同じだから、これでは定積分になってません。

∫ exp[-(lnx-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnx) (積分範囲はlnx=0～a)

というのなら問題なしで、変数をxからtに書き換えて

∫exp[-(lnt-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnt)　(積分範囲はlnt=0～a)

ここで改めて、

x = lnt

と定義すれば

∫ exp[-(x-ln1)^2/2*(ln2)^2] dx　(積分範囲はx=0～a)

となります。ちなみにこの積分はどうやっても初等関数では表せませんで、せいぜい
「正規確率積分」Φ(y) = (1/(√(2π)))∫exp(-(x^2)/2)dx 　(積分範囲はx=-∞～y)
= (1/2)+(y/(√(2π)))(1-(y^2)/(3×2×1!)+(y^4)/(5×(2^2)×2!)-(y^6)/(7×(2^3)×3!)+....)
あるいは
「誤差関数」Erfc(y)=∫exp(-x^2)dx (積分範囲はx=y～∞) = (√π)(1-Φ((√2)y))
などの特殊関数を使って表すしかありません。
　ですが、ご質問では特定のyにおける値を知りたいだけなのだから、正規確率積分（すなわち正規分布の累積度数）の値を確率統計の教科書になら大抵載っている「正規分布表」という数表で調べることもできますし、Excelにもこの値を返す関数があります。