各点収束について

質問

各点収束性と同値になるノルムをＣ（Ω）上に与えることはできないことを証明したいのですが、いまいち理解できません。ヒントによると、

ΩをＲ＾ｎ上の有界閉集合として、Ω＝[0,1]、各点収束の際によくでる例題

ｆ_n(x)=nx (0≦ｘ≦1/n)
2-nx (1/n≦ｘ≦2/n)
0 (2/n≦x≦1)

を考えます。これを使ってｇ_n=f_n/∥f_n∥を考えて、∥g_n∥=1かつ
g_n→0となり矛盾を導きたいのですが、ここの部分が理解できません。
なぜ、ｇ_n=f_n/∥f_n∥を考えて、∥g_n∥=1になるかが理解できません。わかる方、どうか解説をよろしくお願いします。

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

Ω＝[0,1]は前提なの?
一般論としてはΩとして有限集合を取ればC(Ω)上に各点収束と同値なノルムを与えることができるけど。

Ω＝[0,1]についての証明ということなら、
ｇ_n=f_n/∥f_n∥はf_nをf_nのノルムで割っているのだから当然に∥g_n∥=1でしょう。
詳細な計算をするなら、α＝1/∥f_n∥とおくと
∥g_n∥＝∥f_n/∥f_n∥∥＝∥αf_n∥＝|α|∥f_n∥＝1/∥f_n∥・∥f_n∥＝１
ここでα≧0よりα＝|α|を使っています。

お礼

回答して頂きありがとうございます。そして、返信遅れて申し訳ないです。

えーっと、本題に戻りますと、問題ではΩ＝[0,1]は前提になっています。rinkunさんの話ですと、各点収束と同値なノルムを与えることができるということですが、私の本では、

「ΩをＲ＾ｎ上の有界閉集合とする。このとき関数列｛f_n｝が、f∈Ｃ（Ω）に各点収束するとは、各点x∈Ωで

lim n→∞｜ｆ_n(x) - f(x)｜=0

となることとする。この収束は非常に弱く、この収束性と同値になるノルムをＣ（Ω）上に与えることはできない。」

となっています。これで何かわかりましたら、申し訳ないですが解説してもらってもいいですか？また、回答がとてもわかりやすく助かりました。今ノルム空間を勉強中でわからないことだらけです。あと、もう一つ聞きたいことがあったのですが、g_n→0はlim n→∞g_n=0 ですよね？これは、f_nと∥f_n∥ともに0に収束するからですか？長々と乱文を書いてしまいましたが、どうか今一度回答よろしくお願いします。

回答No.5

rinkun

ANo.4の修正。
ANo.4だけだとCl(数列{a_n})に属さない点での関数列{f_m}の収束をいえてないですね。
とりあえずΩが一般の完全正則空間でなくR^nの有開閉集合の範囲なら、a_nごとに交わらない球Gnを取れて、f_nがGnの外では0になるようにできるので、各点で0に収束するようにできます。
それ以外では別途要検討。

回答No.4

rinkun

質問者さんはもう満足されているようですが、一般論を。
R^nの有界閉集合Ωが有限集合でなければ「C(Ω)上の各点収束位相が同値なノルムを持たない」と言えるようです。
Ωが完全正則空間で、Ω上の数列{a_n}を各a_nが異なり、各a_nが数列{a_n}の集積点でないように取れれば、関数列f_m∈C(Ω)を
f_m(a_m)=1, f_m(x)=0 if x∈Cl(数列{a_n}), x≠a_m
となるように構成できます。（チコノフ (Tikhonov) の分離公理）
これを使えば質問の証明と同様に各点収束するがそれぞれのノルムが1であるような関数列を構成できます。
R^nの部分集合なら完全正則なので有限集合でなければ上のような数列を取れるでしょう。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%9B%A2%E5%85%AC%E7%90%86

回答No.3

rinkun

g_nの収束は各点収束での収束をいえば良いです。
各点収束と同値なノルムが存在するという背理法の仮定があることを思い出して下さい。
従って、g_n→0は、任意のxについてそれぞれにあるNxがあり、
　n>Nx ならば g_n(x)=0 ・・・（１）
を言えば十分です。
まずf_nの定義により、f_n(0)=0です。従ってg_n(0)=0です。
x>0としましょう。2/n≦xとなるnを取ると定義によりf_n(x)=0、従ってg_n(x)=0です。
Nx=2/xとおけば、（１）が成り立っています。

以上、証明はあくまでΩ＝[0,1]についてのものです。しかし証明の内容からΩが有界閉区間を含めば同様な証明ができそうだと感じられるでしょう。

私がANo.1で指摘し、ANo.2で説明されている反例(各点収束と同値なノルムが取れる例)は、Ωが有限集合の場合です。
ANo.2では「離散位相をいれる」と書かれていますが、ΩがR^nの有界閉集合であることから部分位相として当然に離散位相が入ります。
このときC(Ω)はΩの要素数を次元とする有限次元ベクトル空間になり、この上のノルムは各点収束位相と同値です。

一般論として「R^nの有界閉集合Ωにどの程度の条件を与えるとC(Ω)上の各点収束位相が同値なノルムを持たないことが言えるか」はよく分かりません。
少なくともΩの中に曲線を取れれば質問の例と同じ方針で証明できると思いますが……

お礼

なかなか奥が深いようですね。今の私には、理解できない部分もありますが、rinkunさんの回答はとても具体的で、とてもわかりやすかったです。これを参考にして勉強もっとがんばりたいと思います。また何かありましたらよろしくお願いします。今回は、いろいろありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

>>引用開始
ΩをＲ＾ｎ上の有界閉集合とする。このとき関数列｛f_n｝が、f∈Ｃ（Ω）に各点収束するとは、各点x∈Ωで
lim n→∞｜ｆ_n(x) - f(x)｜=0
となることとする。この収束は非常に弱く、この収束性と同値になるノルムをＣ（Ω）上に与えることはできない。
<<引用終わり

有界閉集合には「有限集合」も含まれるわけです．そこで一点だけの
集合Ω={0}をとります．
そして，Ωには離散位相をいれることにしましょう．
これによって，RそのものがΩ上の連続実数値関数の集合C(Ω)です．
そして，C(Ω)にはRの普通の「絶対値」でノルムをいれましょう．
さて・・・・
・C(Ω)の元の各点収束
・C(Ω)の元の「ノルムによる収束」
この両者は異なりますか？同じものですか？
これが#1さんのご指摘の例の一番簡単かつ極端なケースでしょうね

>g_n→0はlim n→∞g_n=0 ですよね？
自分で書いてるのだから・・自分しか分からないでしょう？
関数列やノルム空間を考えるときには
収束の意味がノルムによって変わるから注意

>これは、f_nと∥f_n∥ともに0に収束するからですか
これは意味不明．そもそもC(Ω)のノルムに何を採用？
具体的なノルムがなければ値そのものは普通は計算できません
またf_nは0に各点収束するけどもC(Ω)では収束しない．

ただ・・・これはいわゆる「自明な例」に属しますので，
その本ではこっそりこういう例は排除するような暗黙の
お約束があるのかもしれません
＃しかし，あくまで「Rの有界閉集合」と言い切るなら
＃そういう暗黙のお約束は著者の独りよがりか勘違いか誤植

もうちょっと制限して，ΩをRの「有界閉区間」とするなら
この言明は正しいです．
感覚的には
各点収束は関数の連続性とかそういう「つながり」を無視して
単なる点の集まりとしてしかみない収束なのに
ノルムによる収束は一般には
「定義域全体のつながり」を何らかの形で考慮しているので
各点収束よりも厳しいのです．

一般にはノルム収束するならば各点収束だが
各点収束でもノルム収束するとは限らないということです．
＃C(Ω)の任意のノルムで成り立つ（supノルムやL^pノルム限定じゃなく）
＃と思うけど，任意のノルムだと証明は厄介かな多分．

お礼

各点収束しても、ノルム収束するとは限らないということですね。いろいろと参考になりました。これを参考にしてもっと勉強したいと思います。回答して頂きありがとうございました。