一様収束の問題を教えて下さい。

質問

以下の3問です。どれかでも結構です。fn(x)が一様収束するかという問題です。
(1)区間I=[0,1]、
fn(x)=
nx(0≦x≦1/nのとき)
2-nx(1/n≦x≦2/nのとき)
0(2/n≦x≦1のとき)
(2)区間I=[0,1]、
fn(x)=
1-nx(0≦x≦1/nのとき)
0(1/n≦x≦1のとき)
(2)区間I=(0,1]、
fn(x)=
1-nx(0＜x≦1/nのとき)
0(1/n≦x≦1のとき)
よろしくお願いいたします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
区間I=[0,1]
f_n(x)=
nx(0≦x≦1/nの時)
2-nx(1/n≦x≦2/nの時)
0(2/n≦x≦1の時)

0≦x≦1
x=0の時はn_0=1
x>0の時は2/x<n_0
となる自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数に対して
x=0の時はf_n(x)=0
x>0の時は2/x<n_0<n→2/n<x→f_n(x)=0
だから
lim_{n→∞}f_n(x)=0
各x毎にf_n(x)は0に収束する
(この場合n_0は2/x<n_0のようにxに関係している)
(n_0がxに無関係である時一様収束というのだけれども)

任意の自然数nに対して
m>nとなる自然数mが存在する
x=1/m
とすると
f_m(x)=mx=m/m=1
だから
{f_n}は一様収束しない

(2)
区間I=[0,1]
f_n(x)=
1-nx(0≦x≦1/nのとき)
0(1/n≦x≦1のとき)

全ての自然数nに対して
f_n(0)=1-n*0=1
だから
lim_{n→∞}f_n(0)=1
0<x≦1の時
1/x<n_0
となる自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数に対して
1/x<n_0<n→1/n<x→f_n(x)=0
だから
0<x≦1の時
lim_{n→∞}f_n(x)=0
f:I→{0,1}を
f(0)=1(x=0の時)
f(x)=0(0<x≦1の時)
と定義すると
各x毎にf_n(x)はf(x)に収束する
(この場合n_0は1/x<n_0のようにxに関係している)
(n_0がxに無関係である時一様収束というのだけれども)

任意の自然数nに対して
m>nとなる自然数mが存在する
x=1/(2m)
とするとf(x)=0だから
|f_m(x)-f(x)|=f_m(x)=1-mx=1-m/(2m)=1-1/2=1/2
だから
{f_n}は一様収束しない

(3)
区間(0,1]
f_n(x)=
1-nx(0<x≦1/nの時)
0(1/n≦x≦1のとき)

0<x≦1だから
1/x<n_0
となる自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数に対して
1/x<n_0<n→1/n<x→f_n(x)=0
だから
lim_{n→∞}f_n(x)=0
各x毎にf_n(x)は0に収束する
(この場合n_0は1/x<n_0のようにxに関係している)
(n_0がxに無関係である時一様収束というのだけれども)

任意の自然数nに対して
m>nとなる自然数mが存在する
x=1/(2m)
とすると
f_m(x)=1-mx=1-m/(2m)=1-1/2=1/2
だから
{f_n}は一様収束しない