デカルト座標系以外での発散について

質問

半球面S：x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = （-2x, 2y, z）において、
　　∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。

∬s f・dS を計算すると、１８πという答えが出ました。

次に、ガウスの発散定理を用いて・・・

　∬s f・dS　＝　∫∫∫∇・fｄV

∫∫∫∇・fｄV　を計算してみました。

∇・f　=　１　←（デカルト座標系でのdiv？で計算しました。）

となり、

∫∫∫∇・fｄV　=　∫∫∫dxdydz

円柱座標（ρ，φ，ｚ）を用いて、∫∫∫dxdydｚを、

∫∫∫ρdρdφdz　　　←（積分範囲は、　　0≦ｚ≦3、0≦φ≦2π、0≦ρ≦√(9－ｚ^2）　です。　）

と変換して、計算したら、答えは１８πと求まりました。

たしかに面積分で計算したときと同じ値になったのですが・・・

座標を変換すると、発散divの形？が変わるということを知ったのですが、私は知らずにデカルト座標系のまま発散を計算し（値は１）、∫∫∫dxdydzを計算しようとして、デカルト座標ではなく円柱座標に変換して計算を行ったのですが・・・divの計算はデカルト座標のままで行ったのに答えはちゃんと求まったのは何故なんでしょうか？

質問をまとめると・・・

計算した値が１８πと求まったのは、発散の値が変数の含まない１という値であったから座標変換しても影響がなかったためでしょうか？

もし、ベクトル場ｆが違う値で、divfをデカルト座標で計算した値が変数で表され（ｘとか）、それを∫∫∫∇・fｄVに代入したあとに、座標変換を行って計算したら出てくる答えは間違った答えが求まってしまうのでしょうか？

その原因は、

divr = ∂ｘ/ｘ　＋　∂ｙ/∂ｙ　＋　∂ｚ/∂ｚ　・・・(1)

これが、円柱座標（ρ，φ，ｚ）において、

divr　= ∂ρcosφ/∂ρ　＋　∂ρsinφ/∂φ　+ ∂z/∂ｚ　・・・(2)

とはならないからですか？

回答No.2

bran111

質問は座標系を変換したときにベクトルはどう変換されるかということですが、簡単に言うと成分と単位ベクトルの両方を変換すればよいということです。積分を行うときはヤコビアンを入れる必要があります。ベクトル解析の中心的な話で一冊の本になるくらいの内容です。ちゃんとしたベクトル解析の本には必ず出ています。webサイトもたくさんありますのでそれを見ればわかるでしょう。
　なお、divVによってスカラー関数f(x,y,z)が導かれた場合,他の直交座標系、例えば円筒座標系ではx=rcosφ、y=rsinφを代入してf(r,φ,z)に変換すればよいということです。これを空間積分するときは
　dV=dxdydz=rdrdφdz
として領域をr,φ,zで表示してやればよいということです。

回答No.1

bran111

divf↑＝1という定スカラー（定数）になったのでこの体積積分は要するに積分領域の定数倍になったわけです。積分領域は半球で(1/2)(4πr^3/3)=18π、これに1をかけて18πとなります。

円筒座標で積分されてますがむしろ自然なのは極座標系(r,θ,φ)系で
∫(0→3)∫(0→π/2)∫(0→2π)1・r^2sinθdrdθdφ=[r^3/3](0→3)[-cosθ](0→π/2)[φ](0→2π)
=9[-(0-1)]2π=18π
となります。

直交座標系(u1,u2,u3)のスケールファクターをh1,h2,h3とすると
I=∫∫∫divf(x,y,z)dxdydz=∫∫∫divf(u1,u2,u3)h1h2h3du1du2du3
であって、divf(x,y,z)=constantの場合は
I=constant∫∫∫dxdydz=constant∫∫∫h1h2h3du1du2du3=constant・V（Vは積分領域）
です。

補足

ベクトル場の発散の値が定スカラーではなかった時、私が解いたような流れでも値はおかしくならないのでしょうか？

疑問に思ってるのは、積分計算において、円柱座標や三次元極座標に座標変換して求めようとするが、divの計算はデカルト座標のままで計算を行っていいのか？ということです。

わかりづらい質問ですが、回答して下さると助かります。