数学の問題です。(漸化式)

質問

方程式y=-x^2+a(n)x+b(n)で定義された放物線c(n)の頂点の
x軸からの高さは10/2^n,x軸との交点のx座標はα(2n),α(2n+1)である。
α(0)=0,α(2n-1)=α(2n)であるとき,lim(n→∞)α(n)を求めよ。
ただし,α(2n)＜α(2n+1)
という問題なのですが

c(n)の方程式はy=-{x-α(2n)}{x-α(2n+1)}－(1)
頂点のx座標はx軸との交点の中点なので{α(2n)+α(2n+1)}/2
10/2^nは頂点のy座標なので(1)に代入して
10/2^n=-[{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n)][{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n+1)]
=-[{α(2n+1)-α(2n)}/2]*{α(2n)α(2n+1)}/2

と、ここまで解けたのですが (この時点で間違えていたらすみません：)
ここから先が解けません・・・

詳しく教えてください。

回答No.2

noname#84841 · ベストアンサー

10/2^n=-[{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n)][{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n+1)]
=-[{α(2n+1)-α(2n)}/2]*{α(2n)-α(2n+1)}/2
={α(2n+1)-α(2n)}^2/4
ジョウケンα(2n-1)=α(2n)ヲダイニュウシテ
={α(2n+1)-α(2n-1)}^2/4
={α(2n+1)-α(2n-1)}^2/4
40/2^n={α(2n+1)-α(2n-1)}^2

ジョウケンα(2n)＜α(2n+1)ヨリ
α(2n-1)＜α(2n)＜α(2n+1)ナノデ
α(2n+1)-α(2n-1)＞０
コレヨリ
(40/2^n)^(1/2)=α(2n+1)-α(2n-1)
コノシキヲモチイテ
(40/2^1)^(1/2)=α(3)-α(1)
(40/2^2)^(1/2)=α(5)-α(3)
(40/2^3)^(1/2)=α(7)-α(5)
(40/2^4)^(1/2)=α(9)-α(7)
：
中略
：
：
(40/2^(n-1))^(1/2)=α(2n-1)-α(2n-3)
(40/2^n)^(1/2)=α(2n+1)-α(2n-1)
イジョウヲタシテ
α(2n+1)-α(1)=Σ(40/2^k)^(1/2) (k;1⇒ｎ)
=2√10Σ(1/√2)^(k) (k;1⇒ｎ)
=(2√10)(1/√2){1-(1/√2)^n}/(1-1/√2)
α(1)=0
lim(n→∞)α(n)=lim(n→∞)α(2n+1)
=(2√5)/(1-1/√2)
=(2√10)/(√2-1)
=(2√10)(√2＋1)
コンナカンジカナ？

回答No.5

tecchan22

頂点の（ｘ軸からの）高さが10/2^nで、２次の係数が－１の放物線の、ｘ軸との交点のｘ座標の差は、２√（10/2^n）ですね？
（ｙ＝－ｘ＾２＋10/2^nを考えてみよう）

よって求める極限は、
０＋Σ（ｎ＝０→∞）｛２√（10/2^n）｝
＝２√１０＋２√５＋２√（５／２）＋・・・
＝２√１０（１＋１／√２＋１／２＋１／２√２＋・・・）
＝２√１０／（１－１／√２）
＝４（√１０＋√５）

となります。

※＃２さんの解で、α(1)=α(0)+2√10＝2√10と修正したものと同じです。

回答No.4

noname#84841

失礼しました。
問題文はα(1)=0ではなく
α(0)=0でした。
この点に注意して修正願います。

補足

回答ありがとうございます。

α(0)=0 の使いどころがわからないのですが。。。

回答No.3

shippo_ppk

#2の解き方で概ね良いのですが、問題文に対して不整合があるので、その点に注意して解いてみてください。

α(1)=α(0) は α(2n)＜α(2n+1) の条件に反します。

回答No.1

shippo_ppk

> 10/2^n=-[{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n)][{α(2n)+α(2n+1)}/2-α(2n+1)]
> =-[{α(2n+1)-α(2n)}/2]*{α(2n)α(2n+1)}/2

の２行目への変形は間違ってます。

それから α(2n-1)=α(2n) という条件があるので、ｘ軸との交点を
α(2n) と α(2(n+1)) として、漸化式を作ってみてください。