ベクトル解析の発散の定義について

質問

ベクトル解析の発散はその定義とは何でしょうか。ただし空間なので3次元までです。その場合、座標系に依存しない形式で表現できないでしょうか。(ξ1, ξ2, ξ3)を一般的な3次元の座標系と考えてその中での定義です。その定義が明確になると、3次元のデカルト座標系とか円筒座標系とか球座標系などのような特殊な事情の座標系に特化した表現に至る（ブレークダウンする）と思います。
例えば、ベクトルVがあったときにその発散とは、
「Vのξi方向に微分したベクトルとξi方向の単位接線ベクトルとの内積をとりiについて和をとる」
というものだと直交デカルト座標の表現（テキストでお馴染み）も出るのですが。
また、直交曲線座標（球、極、円筒の各座標を包括する）での表現も出てきそうです。
このような感じの定義はないでしょうか。

回答No.4

f272

#1です。

> ただし、これは定義というより誘導されたものであるはずなのです。

何をもって定義というのかは，理論の定式化によって異なります。#１に書いた式を定義だとして，それに直交曲線座標を導入した上で，#3に書いた式を誘導してもよい。実際に#1を書いたときはそういうつもりで書いた。
逆に直交曲線座標という前提で#3を定義だと思ってもよい。このときは#1に書いた式を誘導することができる。

> 我々は最初は直交デカルト座標という特殊な座標系で勉強します。

それは学習の都合ですね。

> しかし、直交曲線座標はそれをさらに一般化したものです。特殊から一般を誘導できるという風になかなか思えず（類推ならわかります）、この方面の問題を理解しなおしたいと思っているところなのです。

確かにそういう進め方なら，類推とか拡張とかになります。直交デカルト座標で定義した式はその範囲での定義です。

お礼

回答ありがとうございます。確かにどこを出発点とするか、によって答え方が違うということになりますね。直交曲線座標→直交デカルト座標という演繹の流れはありますね。
さらに一般曲線座標（座標の直交性も仮定しない）→直交曲線座標→直交デカルト座標というのが演繹の流れで、学習するのはその逆となります。どのテキストも初学者は直交デカルト座標からスタートするでしょう。
そのため何か足元がもつれて転倒しそうに思えるのです。

回答No.3

f272

#1です。
> ここから出発して具体的な式の形の表示まで行かないと私は先に行けないという立場なのです。
> しかしテキストに載っているのはΔV=dxdydzのような直交デカルト座標の場合のみではないでしょうか。

一般の直交曲線座標系についても教科書に載っている気がする。
直交曲線座標系(q1,q2,q3)におけるベクトルf = Σ fi ei (ただしeiはこの座標系での基底)の発散は具体的には
∇・f =(1/(h1h2h3))(∂/∂q1 (h2h3f1)+∂/∂q2 (h3h1f2)+∂/∂q3 (h1h2f3))
で定義されます。ここでhiはスケール因子で直交座標系ならhi=1で定数ですが，一般にはq1,q2,q3の関数です。ここで線素ベクトルはdr=Σ hi dqi eiで表されます。

ちょっと検索して見つけたものです。
http://itpass.scitec.kobe-u.ac.jp/~ykawai/project/orth_curv_coordinate.pdf

お礼

回答ありがとうございます。
あのh1,h2,h3というスケールファクターのあるあの表式ですね。ただし、これは定義というより誘導されたものであるはずなのです。実際それはできます。誘導とはいわば式が成立する所以を示せるということであり、証明でもあるはずです。とすると、何を出発としてあの式が誘導されたのかということを聞きたくなるわけです。
我々は最初は直交デカルト座標という特殊な座標系で勉強します。しかし、直交曲線座標はそれをさらに一般化したものです。特殊から一般を誘導できるという風になかなか思えず（類推ならわかります）、この方面の問題を理解しなおしたいと思っているところなのです。

回答No.2

info222_

直交曲線座標の発散の定義
div V = ∇・ V
が発散の定義です。
(参考URL)
http://www.wave.ie.niigata-u.ac.jp/yamaguchi/education/vector/vector_analysis_divergent.pdf

直交デカルト座標の定義
div V=∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z

球座標の定義
div V=(1/r^2)∂(r^2 Vr)/∂r+(1/(rsinθ))∂(Vθ sinθ)/∂θ+(1/(rsinθ))∂Vφ/∂φ

円筒(円柱)の定義
div V=(1/r)∂(rVr)/∂r+(1/r)∂Vθ/∂θ+∂Vz/∂z

参考URL：

http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node63.html

お礼

回答ありがとうございます。
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直交曲線座標の発散の定義
div V = ∇・ V
が発散の定義です。
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直交曲線座標での定義が明確であれば、直交デカルト座標、球座標、円筒座標、極座標での表現は誘導されるものということになりますね。その場合、誘導されるのですから定義とは言えないかもしれませんが、それ以上遡って質問しない、と割り切ればそこを出発点として定義する（極座標の発散の定義は....）という立場はあるのかもしれませんが。

ところで直交曲線座標での定義における∇および・（内積）の具体的な計算方法の定義が必要になります。∇の定義はどうなるでしょうか。実際にそれを使って一仕事しようと思ったら定義の中に使われるもの（表現≒材料）は既に定義済でないといけないはずだから。

また、定義としてもそれが概念とか積分形などで陰的に表現されているとしたら具体的な形を表示することが困難になると思われます。
この辺のことを明確にするために∇（ナブラ）の直交曲線座標の一般形式を誘導して示し、それを使って勾配、発散、回転を取ればよいということになるようです。そういうテキストがありました。

回答No.1

f272

ベクトル場fの発散を
∇・f = lim[⊿V→0](1/⊿V) ∫∫_S (f・n) dS
で定義しておけばいいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
結局これが座標系にも依存しない表現なのだろうと思います。
ここから出発して具体的な式の形の表示まで行かないと私は先に行けないという立場なのです。この先、右辺の面積分を体積分にしたところで、発散のお馴染みの式が出てきそうです。しかしテキストに載っているのはΔV=dxdydzのような直交デカルト座標の場合のみではないでしょうか。