数学IIIの問題です。

質問

k>0のとき、方程式２＾x-sinx=k+1は正の解を持つことを示せ。

　中間値の定理を使うのですが、xに0をいれたらマイナス
になることが分かったのですがもう一方に何の値を入れるの
かがわかりません。教えてください!
ちなみに２＾ｘは２のｘ乗ということです。

回答No.7

inqstv

例えば、log(k+2)/log2（もちろん、これは正値。また、手書きなら、2を底とする対数で書きたいところ）を入れればよいでしょう。
そうすれば、2^x-sinx-k-1≧0となります。

回答No.6

Quattro99

#5ですが文章がおかしいので書き直します。

> xに何を当てはめてもkがあるのでうまく＞0を示せないんです
最初に考えたのはx→∞のとき+∞に発散することを示せばいいだろうということでした。たぶん、それでもいいのではないかと思います。
それ以外にも、例えば、
y=x-k ただしk>0
で考えてるとわかりやすいと思いますが、その場合だと、
x-k>0
ならよいのですから、xに例えばk+1を入れてkを消してしまうか、あるいは2kを入れてkが残っても>0が示せる形にすればよいことになります。
ご質問の問題ではkを消すのは難しそうなので（と言うか出来なさそうなので）kが残っても>0が示せるように出来ないかを考えてみます。
y=2^x -sinx -k-1=2^x-(k+1+sinx)で、sinxは最大で1ですから、2^xがk+2より大きければ>0となります。そこで、k+2を入れてみるというのを思いつきました。

回答No.5

Quattro99

> xに何を当てはめてもkがあるのでうまく＞0を示せないんです
最初に考えたのはx→∞のとき+∞に発散することを示せばいいだろうということでした。たぶん、それでもいいのではないかと思います。
それ以外にも、例えば、y=x-k で考えてみたらどうでしょうか。
x-k>0
x>k
ならよいのですから、xに例えばk+1を入れてkを消してしまうか、あるいは2kを入れてkが残っても>0が示せる形にすればよいことになります（k>0という条件を利用する）。
y=2^x -sinx -k-1=2^x-(k+1+sinx)で、sinxは最大で1ですから、2^xがk+2より大きければよいので、k+2を入れてみるというのはどうでしょうか。

回答No.4

whitedingo

中間値の定理を使うとき、関数が単調増加でなくとも連続であればいいです。
さて、この問題を中間値の定理を使って解くみたいですね。ｘ＝ｎπを代入したらどうなんどろうなと思っているのですが、何を代入したらよいかはよくわかりません。
なので、私の場合この問題を解くときは、
Ｆ（ｘ）＝２＾ｘ
と
Ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｋ＋１
のグラフを描きそのグラフの様子を利用して解くでしょう。

回答No.3

Quattro99

単調増加でなくても連続関数ならいいのでは？
たぶん、数IIIでは連続関数であることは示さなくてもいいような気がしますが、中間値の定理を使うということは示さないといけないのかも？

回答No.2

noname#21330

y=2^x -sinx -k-1
に対して中間値の定理は、単調増加の部分しか使えません、
x=0でのyの微分値は負のような気がするのですが、
問題合っています？

単調増加が示せるのであれば、No.1さんの考えが合っています。
xが増えれば、増加の度合いは、
２＾x
が最も大きいですので。

回答No.1

Quattro99

>xに0をいれたらマイナスになる
y=2^x -sinx -k-1 とした場合にy=0が正の解を持つことを示すために、x=0の時にy<0で、x>0のどこかでy>0となることを示そうということかと思います。xに定数を当てはめたら、kを大きくすればy<0になってしまいますから、xに何を当てはめればいいのかわかると思います。

お礼

そこなんですよ、xに何を当てはめてもkが
あるのでうまく＞0を示せないんです。xの値を
教えてください！