数C（媒介変数）

質問

x=(1+4t+t^2)/(1+t^2)
y=(3+t^2)/(1+t^2)
で表される曲線Cの方程式をx,yで表せ

答えは{(x-1)^2}/4+(y-2)^2=1になるのですが、解説をお願いします。

回答No.1

postro · ベストアンサー

t=tanθ　と置き換えて考えるとうまくいくみたいです。

お礼

ありがとうございます

回答No.3

take_5

オーソドックスに行きます。

x＝(1+4t+t^2)/(1+t^2)＝1＋(4t)/(1+t^2)　‥‥(1)
y＝(3+t^2)/(1+t^2)＝1＋2/(1+t^2)　‥‥(2)

(1)よりx-1＝(4t)/(1+t^2)‥‥(3)、(2)よりy-1＝2/(1+t^2)→　2t(y-1)＝4t/(1+t^2)‥‥(4).　従って(3)と(4)から　2(y-1)t＝x-1　となるから、t＝(x-1)/2(y-1)。
但し、y-1＝0の時は別に吟味してください、
t＝(x-1)/2(y-1)を(2)に代入すると、答えの式が出てきます。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

moonliver_2005

こういう問題は、ｔを追い出せばよいです。ｔを追い出すのは一筋縄でゆきません。そこで、私は分母の1+t^2を追い出すことを考えました
1+t^2=Tとおきます。すると
x=(T+4t)/T=(T+4√(T-1))/T
y=(T+2)/T
となります。二番目の式から
T=2/(y-1)
T-1=(3-y)/(y-1)
とTはｙで表せました。そうすると、これを第１番目に放り込めばTの追い出しは成功です
第１式を延々と変形します
Tx=T+4√(T-1)
T(x-1)=4√(T-1)
2(x-1)/(y-1)=4√(T-1)
(x-1)/(y-1)=2√(T-1)
(x-1)^2/(y-1)^2=4(T-1)
(x-1)^2=4(T-1)(y-1)^2
(x-1)^2/4=(T-1)(y-1)^2=(3-y))(y-1)^2/(y-1)
=(3-y))(y-1)=-y^2+4y-3=-[(y-2)^2-1]
ここまででTの追い出しができて、式が証明できました。

t=tanθ　と置いた方がスマートに追い出せるようですが、三角関数の公式、忘れたので、私は腕力で証明してみました。（笑）

お礼

ありがとうございます助かります