媒介変数を用いた積分

質問

媒介変数tを用いて、
x=cos2t
y=tsint
(0≦t≦2π)
と表される曲線が囲む領域の面積を求める問題です。

いつも見慣れている問題のように、
S=∫ydx (インテグラルは0から2π)
dx=-1/2sin2tdt
と置いてやりましたが、答がマイナスになってしまいます。
どのように、解答の指針を立てたらよいでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

＞　dx=-1/2sin2tdt
間違い。
dx=-2*sin(2t)dt
ケアレスミスですね。

曲線が囲む領域は２つできますので、
積分は
（１）t=0～π(y≧0の積分領域と
（２）t=π～2πの領域(y≦0)
に分けて積分します。
それぞれの領域でグラフがループを描きますので、
（１）ではグラフが
（t=π/2～πの区間のy）≧（t=0～π/2の区間のy）
となりますので
S2=（t=π/2～πの区間のyによる面積）
S1=（t=0～π/2πの区間のyによる面積)
とおくと(1)の面積S12=S2-S1=16/9
S2=∫[t:π/2～π]ydx
S1=∫[t:π/2～0]ydx

同様に
（２）ではグラフが
（t=π～3π/2の区間のy）≧（t=3π/2～2πの区間のy）
となりますので
S3=（t=π～3π/2の区間のyによる面積）
S4=（t=3π/2～2πの区間のyによる面積)
とおくと（１）の面積S34=S4-S3=16/9
S3=∫[t:3π/2～π](-y)dx
S4=∫[t:3π/2～2π](-y)dx
(2)ではy<0のため面積（正）を出すときはx軸のy=0からグラフの式のyを引くため(0-y)=(-y)となります。

(1)と(2)をあわせた面積S=S12+S34=? ←S12とS34を代入すれば答になります。

(注)
全ての積分はxで言うと[x:-1～1]の積分になります。xをｔに変換すると
S1,S2,S3,S4の積分の式の積分範囲になります。

後は、ご自分で、自力で考えて下さい。

お礼

間違い指摘、ありがとうございます。
微分と積分が何故かごっちゃになっていました・・・。
tの範囲によって領域が異なるのですね。後は何とか考えてみます。
回答ありがとうございました！

回答No.1

PRFRD

問題の式はあっていますか？
特に x が疑わしいと思うのですが（dx の式とも合いませんし）．

もし本当にその式であれば，少し面倒な問題です．
というのは，t が 0 ～ 2π まで動くとき，
x = cos(2t) は 0 ～ 1 の範囲を二往復し，
その曲線が囲む領域は 2 つ現れることになります．

お礼

スミマセン、dxの式が誤りでした…。申し訳ありません！
しかし、領域が複数現れることはわかりました。
回答ありがとうございます！