軌跡（媒介変数）

質問

tがすべての実数値をとって変わるとき、２直線tx-y+t=0(ⅰ),x+ty-1=0
（ⅱ）の交点Pの軌跡を求めます。
x,yをtであらわしたらとけましたが、
別解としてtを消去する方法が紹介されてました。
(x+1)t=y　（ⅰより）
（I）x+1≠0　のとき、～　x^2+y^2=1
（II）x+1=0　のとき　0・t=y　実数tが存在することから、y=0
ところが、x=-1,y=0 のとき、0・t-2=0 となり不適
（-1,0）が除かれる点。

しかし、ここで、僕は(ⅱ)から解こうとしていました、
-x+1=ty でyが０のとき
同様にx=1でこれと(ⅰ)よりt(x+1)=0 よってt・2=0
よって、tは条件を満たす。。あれ！？？？
ひたすら、考えましたがわかりませんでした。
（-1,0）が除かれる点としてでないのです。。
なぜ、yから攻めた場合はちゃんとしたこたえが出ないのでしょう？？
ｙ≠0のときは普通に答えがでましたが・・・・
円すべてになってしまうんです。

ややこしく、なりましたがどなたか教えてください。。
きになって夜も眠れません　笑

回答No.1

Aronse · ベストアンサー

気にせずつづきをやってみてください
-x+1=tyでyが0でないとき

t=(-x+1)/yでこれを(x+1)t=yに代入すると
(x+1)(-x+1)/y=y
整理して
1-x^2=y^2
x^2+y^2=1

よって円の(1,0),(-1,0)以外の部分が出てきます。
これと、それまでに計算したy=0のときの
(1,0)をあわせてやると、単位円から(-1,0)を除いた図形になります。

要するに最初の解法は円から(-1,0)をとりのぞくやりかたで
質問者様の解法は(-1,0),(1,0)が抜け落ちた円に(1,0)を加えてやる解法になっているわけです。どちらでも答えがでてきます。

(-1,0)をとりのぞく解法とか変な日本語で、結果としてなるわけで解法とは言いませんね。日本語変ですいません。

お礼

ありがとございます。自分がなにをしていたか、よくわかりました！！

回答No.4

take_5

＞なぜ、yから攻めた場合はちゃんとしたこたえが出ないのでしょう？？

勘違いをしているようだ。

２直線tx-y+t＝0‥‥(1)、x+ty-1＝0‥‥(2)
(2)から、ty＝1-x。従って、y＝0の時は、x＝1.この時、(1)はt＝0であるから、点（1、0）も答えの一部。
y≠0の時、(2)からt＝（1-x）/y‥‥(3)
(1)は（x+1）t＝yであるから、x+1＝0の時y＝0.y≠0という仮定に反する。つまり、点（-1,0）は除く。
x+1≠0の時は、t＝y/（x+1）‥‥(4)　(3)と(4)からt＝（1-x）/y＝y/（x+1）であるから、x＾2＋y＾2＝1.

以上から、円：x＾2＋y＾2＝1の点（-1,0）を除いた部分。

お礼

なるほど、yが０ということは、y=0のときにでる
xを除いてるのですね、ありがとうございました。

回答No.3

z8p1050

これに関しては、少々考え方が異なります。

-x+1=tyの式では、y=0か否かで場合分けします。
問題になるのはy=0のときですが、-x+1=tyの式にy=0を代入すると、x=1が出ますね。
ということは、y=0のときに在って良いのはx=1だけなんです。
つまり、求めた式のx^2+y^2=1にy=0を代入したときに得られるx=+-1の2解の内、x=-1は解としては不適ということになります。
試すまでも無く、-x+1=tyに(-1,0)を代入したら不適であることは分かりますね。

このように面倒な確認をしなくてはならなくなるので、このような問題の場合、敢えて面倒な式に代入したほうが良いことが多いですね。

ご理解いただけたでしょうか？

お礼

なるほど、自分が今何をして何を求めていたのか
よくわかりました、ありがとうございました。。

回答No.2

Aronse

補足です。要するに
「-x+1=tyでyが0でないとき」と場合わけしているので
たとえ結果にx^2+y^2=1が出てきても
(1,0)と(-1,0)は含まれない欠損円なわけです。

うまく説明できなかったので補足しました（汗