対称式 数学I

質問

正の数a,b,cがa+c=2bを満たすとき
1/(√a+√b)+1/(√b+√c)-2/(√c+√a)
の値をもとめよ
という問題があるのですが・・・答えは０になるらしいのですがまったくわかりません
分母をｂ＾2－acにあわせるところまでできたのですが・・
よろしくおねがいいたします

回答No.4

moonliver_2005 · ベストアンサー

ルート計算は誰でもめんどうなものです。計算式を見るとすべての変数にルートがかかっていますから、これを他の変数で置き換えてしまいます。
A=√a B=√b C=√c)
こう置くと求める式は
1/(A+B)+1/(B+C)-2/(C+A)
となります。この式の分子は簡単に計算できて
(B+C)(C+A)+(A+B)(C+A)-2(A+B)(B+C)
=A^2+C^2-2B^2
です。一方条件式もA,B,Cで書換えなければなりません.
A^2+C^2=2B^2
そうすると分子=0になり、この式も０になります。簡単でしょ？

数学Iでは、「複雑そうな式は変数を置き換える」作戦が功を奏することがあります。

回答No.3

ccyuki

有理化します。たとえば
1/(√a+√b)=(√a-√b)/(√a+√b)(√a-√b)
　　　　　　=(√a-√b)/(a-b)
同じようにして
1/(√a+√b)+1/(√b+√c)-2/(√c+√a)
=(√a-√b)/(a-b)+(√b-√c)/(b-c)-2(√c-√a)/(c-a)
ここで　a+c=2b　だから　a-b=b-c
　　　　また　a+c-2a=2b-2a　となり　c-a=-2(a-b)
　　だから　a-b=A　とすると　b-c=A　　c-a=-2A
1/(√a+√b)+1/(√b+√c)-2/(√c+√a)
=(√a-√b)/A+(√b-√c)/A-2(√c-√a)/(-2A）
={(√a-√b)+(√b-√c)+(√c-√a)}/A=0

回答No.2

age_momo

#1さんのやり方もありますし、計算に少し工夫すれば簡単な式変形になると思います。

与式={1/(√a+√b)-1/(√c+√a)}+{1/(√b+√c)-1/(√c+√a)}
=(√c+√a-√a-√b)/(√a+√b)(√c+√a)+(√c+√a-√b+√c)/(√b+√c)(√c+√a)
=(√c-√b)/(√a+√b)(√c+√a)+(√a-√b)/(√b+√c)(√c+√a)
={(√c-√b)(√b+√c)+(√a-√b)(√a+√b)}/(√a+√b)(√b+√c)(√c+√a)
=(c-b+a-b)/(√a+√b)(√b+√c)(√c+√a)
=(a+c-2b)/(√a+√b)(√b+√c)(√c+√a)=0

回答No.1

N64

a+c=2bを変形すると、
a-b = b-c と　c-a = 2(b-a)
となります。
分母を有理化し、このことを使うと、簡単に解けます。