数学の問題です

質問

数学の問題です

基礎問題ですが、考え方や途中式がわかりません。教えてください。

1 放物線 y=x(1-x) とx軸とで囲まれる部分Aの面積を求めよ。

次にAの面積を放物線 y=ax^2 (a>0) が2等分するようにaの値を定めよ。

ちなみにAの答えである 6分の1 は求めれたのですが

aの値がわかりません。

答えは a=√2-1 （√の中身は2です）

2 三角形ABC において、 辺BCを 3:1 に内分する点をD, 線分ADを 3:1 に内分する点を
Eとして、 AEベクトル、 BEベクトルを ABベクトル ACベクトルで表せ

答えはAEベクトル=16分の3ABベクトル+16分の9ACベクトル

BEベクトル=-16分の13ＡＢベクトル+16分の9ACベクトル です

3 aベクトル=(3,1) bベクトル=(1,2)
とcベクトル=aベクトル+tｂベクトル について、次のものを求めよ(ｔは実数

(1) ｜cベクトル｜=√15となるtの値

ちなみに｜←これは絶対値のことです。

答えは ｔ＝-1±√2 です

(2)｜cベクトル｜の最小値とそのときのtの値

答えは ｔ＝-1のとき 最小値√5です

回答No.1

gohtraw

１．二つの放物線の図を書いてみると、いずれも原点を通り、０＜ｘ＜１のどこかで交わっています。二つの放物線で囲まれた部分（Ｂとします）がＡの半分の面積を持てばいいわけです。両者の交点は
ｘ（１－ｘ）＝ａｘ＾２　とおいて
（ａ＋１）ｘ＾２－ｘ＝０
ｘ（ａ＋１－ｘ）＝０
ｘ＝０、ａ＋１
従ってＢの面積は
∫（－（ａ＋１）ｘ＾２＋ｘ）ｄｘ　（積分範囲は０からａ＋１）
この値が１／１２になるようにａを決めればいいと思います。

２．ベクトル記号は省略します。
点の定義よりＡＤ＝（ＡＢ＋３ＡＣ）／４、ＡＥ＝３ＡＤ／４なので
ＡＥ＝３（ＡＢ＋３ＡＣ）／１６
ＢＥ＝ＡＥ－ＡＢ
　　＝３（ＡＢ＋３ＡＣ）／１６ーＡＢ
あとは計算して下さい。

３．ー（１）
ベクトルｃを成分で表すと（３＋ｔ、１＋２ｔ）であり、その絶対値の二乗は
（３＋ｔ）＾２＋（１＋２ｔ）＾２で、これが１５に等しくなればいいので、あとはｔの二次方程式を解くだけです。

３－（２）
ｆ（ｔ）＝（３＋ｔ）＾２＋（１＋２ｔ）＾２　としてｔの二次式の最小値を求めればいいので平方完成してみてください。