慣性モーメント

質問

質量が円筒面にしかない薄い円筒の中心軸の回りのモーメントをもとめたいのですが、答えが合いません。
自分でやると面積πR^2の円が二つ分と考えて、
I=2∫dr∫ρr^3dθ=...=(MR^2)/2　　（M=2ρπR^2）
となってしまいます。答えはMR^2でした。教えてください。お願いします。

回答No.1

N64 · ベストアンサー

難しく考えていませんか？質量が円筒面にしかない薄い円筒の中心軸の回りのモーメントですから、計算するまでもなくMR^2です。もしわからないようでしたら、ここを見るとよいと思います。
http://homepage3.nifty.com/law_of_causality/ph2/ph2_701.htm

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/law_of_causality/ph2/ph2_701.htm

お礼

回答ありがとうございました。見てもいまいち分からなかったのですが・・・。
軸からRのところにある質量Mの物体の慣性モーメントと同じく考えてよいのでしょうか？

回答No.3

ht1914

Ｎｏ２です。お礼の文章について。

円筒の体積（容積ではないですよ。）×ρで円筒の質量を出すところが出来ていません。間違いに気がつきませんか。Ｍ＝２πＲ＾２×ρではないでしょう。薄いというのに引っかかっているのなら厚みをａとしてもいいです。円筒を半径Ｒの円柱と半径Ｒ＋ａの円柱の差として考えれば体積を出すことが出来るはずです。（円柱の高さをｈとするというのも省略すると分からなくなってしまいそうですね。きちんと図を書いてみて下さい。）後でａ＜＜Ｒとすればいいです。ここが出来ていなければ積分の式は無意味です。
ついでに円周上に同じ質量の物体が均等に分布している時の計算もやってみて下さい。
間違いに気付いて下さい。

お礼

円筒と円柱を混同していました。ありがとうございました。

回答No.2

ht1914

何故面積πＲ＾２の円を２つ考えたのですか。何故円筒の質量として円盤の質量の２倍としたものを考えたのですか。自分のやったことの吟味をやる習慣を付けないと何時も誰かに正解を聞くと言うことから抜けることが出来なくなります。
積分で表された公式からスタートするのではなく質量を持った物体の運動からスタートするのが基本です。いくつかの物体が分布している時がその次です。積分の表現は質量が連続分布している時のものです。
この場合で言えば質量ｍの物体が半径Ｒの円周上を運動している場合、質量ｍの物体が２つ、半径Ｒの円周上を運動している場合（２つの物体は中心に対して対称的な位置になるとした方が感じはいいですね。）、・・・
慣性モーメントの意味と求め方を改めて復習してください。
参考　運動エネルギーの表現
　　　（１／２）（ｍ）Ｖ＾２
　　＝（１／２）（ｍＲ＾２）ω＾２
　　＝（１／２）Ｉω＾２

お礼

>何故面積πＲ＾２の円を２つ考えたのですか。何故円筒の質量として円盤の質量の２倍としたものを考えたのですか。

円筒なので、上と下を考えました。薄いというので側面積は考えませんでした。