慣性モーメントの問題で質問です。

質問

慣性モーメントの問題で質問です。

質量m,半径rの剛体の円板が、固定した天井から長さLの3本の針金によって,円周上を3等分する点で水平面内につられている. 円板をその垂直中心線まわりに微小回転振動させたときの周期がTであるときの円板の慣性モーメントを求めよ.

答えは　I = (T/2π)^2 * mgr^2/L　となるそうです。

答えから　I(d^2θ/dt^2) = -mgr(rθ/L)　という式を変形していけばいいと思うのですが、右辺のモーメントの意味がよく分からないので解説をお願いします。

回答No.1

hitokotonusi

円板がθ回転したとすると、円周上の各点はrθ移動します。
このとき、針金は伸び縮みしないとすると、針金は斜めに傾く事になるので、その分円板が持ち上がります。どのくらい持ち上がるかというと、微小振動なのでrθを十分に小さい量として取り扱うと、

h=L-√[L^2 - (rθ)^2] ～L - L [1 - (rθ)^2／(2L^2) ] = (rθ)^2／2L

したがって、位置エネルギーは

V = mgh = mg r^2θ^2／2L

だけ増加します。

微小振動なので単振動を仮定すると

θ(t) = a cos(ωt+φ)
dθ(t)dt = -a ω sin(ωt+φ)

なので、力学的エネルギーは慣性モーメントをＩとして

E = (1/2)I (dθ/dt)^2 + mg r^2θ^2／2L
　= (1/2) I a^2 ω^2 sin^2(ωt+φ) + (1/2) (mg r^2 a^2 /L) cos^2(ωt+φ)

θ=0となる位置ではsin(ωt+φ)=±1, cos(ωt+φ)=0,
最大振幅の位置ではsin(ωt+φ)=0, cos(ωt+φ)=±1,

なので、エネルギー保存則から

E = (1/2) I a^2 ω^2 = (1/2) mg r^2 a^2 /L

したがって、

I = mg r^2/ ω^2 L

問題により周期がTと与えられているので、ω=2π/Tを代入すれば答になります。

えー、多分合っていると思いますが、間違ってたらごめんなさい。
ちなみに一様な円盤なら慣性モーメントがI=(1/2)mr^2なのでω(またはT)がでるはずです。