球の慣性モーメントについて

質問

こんにちは!!工学部に通う大学一年生です。現在大学の物理学で慣性モーメントについて勉強しています。そこで下のような問題を解きました。

「球（質量Ｍ、半径Ｒ）の１つの直径周りの慣性モーメントを求めよ。
」
という問題を解いてみて解答を見ると
球の密度をρ=M/(4/3)πR^3とする。球の中心から高さzからz+dzの間にある厚さdzの円盤の質量はρπ(R^2-z^2)dz
よって慣性モーメントはi=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)
これを積分してI=∫idz=(2/5)MR^2
(積分区間は-R≦z≦R)

となっていました。解答の流れと計算はわかるのですが、i=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)の式に何故(1/2)がつくのかわかりません。
教えてくださいm(_ _)m

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

１／２は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径ｒ、質量ｍの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが（１／２）ｍｒ^２であるということです。１／２がなければｍｒ^２になりますね。これは距離ｒの所に質量ｍがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
１／２がついているということは円盤の場合、中心からの距離がｒ／√２の所に質量が集中しているとしたときと同等だということです。質量が広がりを持って分布している物体の回転を、同じ質量を持った、回転について同等な質点の回転に読み直しています。半径ｒよりも小さい所に質量が分布していますから当然前に着く数字は１よりも小さくなります。球の場合は円盤の場合よりも多くの質量が中心の近くに分布していますから前に付く数字は１／２よりも小さくなります。２／５＜１／２ですね。３／５とか４／５が出てくればおかしいということが分かります。
慣性モーメントを単に積分で定義された量とだけで理解しているとこういうチェックが出来ません。

運動方程式　力＝質量×加速度
に対応する回転に関する運動方程式は
モーメント＝慣性モーメント×角加速度
です。この式は
力＝質量×加速度　の両辺に回転半径ｒをかけたあと
加速度＝半径×角加速度
と書き換えれば出てきます。
（ｒの掛け算は本当はベクトル積ですが普通の掛け算で書いています。）

お礼

詳しい解説ありがとうございました。

回答No.1

tono-todo

チェックしていませんが、教科書にあるはずです。

円盤の慣性モメントそのもの。

お礼

ご回答ありがとうございます。理解できました＾＾