この物体の慣性モーメントの求め方が知りたいです。

質問

こんにちは、添付の図の慣性モーメントの求め方を是非知りたいです。
私の先生は覚える必要も、求め方を覚える必要もないと言われたのですが、やはり自分で求めてみたいと思い、投稿させてもらいました。

図は円柱で、上下面に垂直に走る回転軸ではなく、
柱方向に対して垂直にかつ重心を通る回転軸を考えた場合の慣性モーメントです。
添付の図右側に示されているIx やIyに相当します。
これがなぜ、m/12 (3r^3 +h^2)となるのか、どうにかといてみたいのですが、いかがでしょうか。

回転軸が上下面に垂直に走る回転軸の場合のIz　= (mr^2)/2は、
微小領域の体積を R x dR dθ dzとして、物体の密度をDとし

I = ∫R^2dm = ∫D x R^3 x dR dθdz
を導き出し、R, θ,zについて積分する( 各範囲 0<R<r、 0<θ<2π、0<z<h という方法で求めて、理解できたのですが、Ixについてが理解できておりません。

Ixの場合、
微小領域の体積を R x dR dθ dz、密度Dは同じと考えています。
I = ∫R^2dmのところで、軸から微小領域までの距離に相当するのはz座標の絶対値であるため、
R^2 = z^2としました。すると

I = ∫R^2dm = ∫D x z^2 x R x dR dθdz
としました。そしてこれを解くと、
I = D [(z^3)/3] [(R^2)/2][θ]
となり、各範囲 0<R<r、 0<θ<2π、-h/2<z<h/2
として計算すると、

I = (D x h^3 x r^2 π)/12
となり、ここで、円柱の総体積がπhr^2であり、円柱の質量をmとすると、
D = m / (πhr^2)
であるから、これをIの式に代入すると
mh^2/12
となってしまいました。これは添付のm/12 (3r^3 +h^2)と異なり、困っています。
式の過程ですでに、3r^3に相当する項が存在しないため、答えが違うことは目に見えていたのですが、過程をご覧頂ければと思い記入しました。

どうか添削や正しい解答をお教え頂きたく、宜しくお願いします。
質問が長くなり、また数式が見辛い点が多々あると思いますが、
どうかお助け頂きたく宜しくお願い致します。

回答No.1

FT56F001 · ベストアンサー

よく勉強していますね。

>軸から微小領域までの距離に相当するのはz座標の絶対値であるため、
>R^2 = z^2としました。すると
>I = ∫R^2dm = ∫D x z^2 x R x dR dθdz
x軸から微小領域までの距離には，z成分だけでなくy成分も効きます。
すなわち，距離^2=z^2+r^2(sinθ)^2です。
ただし，θはx軸方向を0としてz軸周りで計る。

I =∫R^2dm=∫D*{z^2+r^2*(sinθ)^2}*R*dR*dθ*dz

として積分すれば正しくなります。

お礼

なるほど、見落としてました。ありがとう御座いました。

回答No.3

hitokotonusi

別のやり方でもっと簡単にやってみます。

円筒をz軸に垂直に厚さdzの円板に切り分けます。
この円板の質量はmdz/hで、z軸に垂直な回転軸についての慣性モーメントは(mdz/h)r^2/4。
この円板がxy面(z=0の面)からzの距離にあるとすると、平行軸の定理によりx軸、または、y軸まわりの慣性モーメントは

dI(z) = (mdz/h)r^2/4 + (mdz/h) z^2 = (mr^2/4h)dz + (m/h) z^2 dz

これを-h/2 から h/2まで積分するとdI(z)が偶関数なので

Ix = Iy = 2 ∫[0->h/2] { (mr^2/4h)dz + (m/h) z^2 dz }
= 2 (mr^2/4h)(h/2) + 2 (m/h) (h/2)^3/3 = mr^2/4 + mh^2/12

お礼

なるほど！　よく勉強して理解しています。ありがとう御座いました。

回答No.2

FT56F001

すいません，大文字Rと小文字rが混乱しました。

すなわち，距離^2=z^2+R^2(sinθ)^2です。
I =∫R^2dm=∫D*{z^2+R^2*(sinθ)^2}*R*dR*dθ*dz

に訂正します。

お礼

ありがとうございます。