円盤の慣性モーメント

質問

直径D，質量Mの中心軸まわりの慣性モーメントが1/8ｘMｘD＾2と公式として
書いてある文献がたくさんありますが求め方がわかりません！
どうやって求めるのでしょうか？

回答No.4

noname#230359

誤　　　正
慣性モーメントJ ＝ m･ｒ →　m･ｒ^2 --- ?

微小の記号ｄとして
微小厚み dｒのリングの　面積 dA = 2πr･dｒ　--?
密度ρとして　dm = ρ･c･dA --- ?
m = πρ･c･R^2 -- ?

　　　　　　　 ?　　　　　 ?　　　　　　　　整理
　　　J ＝ ∫dJ = ∫dm･r^2　＝ ∫(ρ･c･dA)･r^2　＝ ∫2πρ･c･r^3 ･dｒ

定積分　　　　　　?　　　　　直径で
　　　　＝　πρ･c･R^4 / 2 ＝ m･r^2 /2 　＝　 m･D^2 /8

回答(1)の方が正しいでした。

回答No.3

noname#230359

moridesignofficeさんへ
回答がよく分かりません。ご教授ください。
「慣性モーメントJの定義は、質量m、回転半径rとして　J = m･r」
分かりやすいサイトを教えてください。

「∫r･dm = ∫(ρc･dA)r^2」
なぜ、結果としてｒ＾2になるのでしょうか？

「πρc(r^4)/2 = m･D^2 / 8」
この結果の途中計算を教えてください。

「ここでは 定積分記述が出来ないので・・」
理由は何でしょうか？
答えにDが出てきていますが・・？

よろしくお願いします。

もう一つ不明な点があります。
「 半径ｒ　　半径増分?r」
ｒ+?rと考えて、ドーナツ形状で計算しているのですよね。
どこからどの範囲で積分しているのでしょうか？

回答No.2

noname#230359

慣性モーメントJの定義は、質量m、回転半径rとして
　　J = m･r　---(1)　　本題の物体は円盤で r= 0～(D/2)

ここで、微小質量部?mで　(1)式を考える。
　　密度ρ　　ドーナッツ形の微小面積 ?A = 2πr･?r
半径ｒ　　半径増分?r 　 高さ(厚み)c　とすると、
　　この微小部の質量　?m = (ρｃ?A)
この部の慣性モーメント ?J =　r･?m

従って全体の慣性モーメント　
J = ∫r･dm = ∫(ρc･dA)r^2 = ρc∫r^2 dA = ∫ 2πρcr^2rdr
= πρc(r^4)/2 = m･D^2 / 8

なお、ここでは 定積分記述が出来ないので、正しい記述としては、
下記サイト：伝動軸(3)の(c)の(ｲ)円筒体を参照。

参考URL：

http://www.geocities.jp/moridesignoffice/Shaft.html

回答No.1

noname#230359

合っているかどうか分かりませんが、
慣性モーメントをI、質量をM、円盤の半径ｄ、面密度ｑ、中心から外周に向かっての距離をｒとすると
公式I＝Mｒ＾2で、円盤の円周上の質量はｑ2πｒとなり、
そしてｑ＝M/（πｄ＾2）です。
つまり
I＝∫ｒ＾2（ｑ2πｒ）ｄｒ　を中心0からｄの間で積分します。

I＝∫ｒ＾2（M/（πｄ＾2））2πｒｄｒ

I＝M/ｄ＾2∫2ｒ＾3ｄｒ

I＝[ｒ＾4/2]M/ｄ＾2（0～ｄの数字を代入）

I＝1/2×Mｄ＾2

ここでｄ＝D/2なので

I＝1/8×MD＾2

ではないでしょうか。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
わかりやすくたすかりました！！