この物体の慣性モーメント

質問

こんにちは、いつもお世話になっております。

ある形状の慣性モーメントの求め方について困っておりまして、ご教示下さい。
ある問題で図のグレーの部分の慣性モーメント I （灰色）を求めるというのに出会いました。
図のとおりなのですが、いわゆるカムと呼ばれるものと認識しております（間違っていたらすみません）。
回転の軸が、グレーの円盤の中心ではなく、少しずれた位置、R/2ずれた位置にあります。
質量は、円盤が完全な空洞のない状態の場合、M、でして、実際は四分の一が抜けているため、
3/4 Mとお考え下さい。

模範解答では、
まず、グレーの円盤が完全なものだとした場合の慣性モーメントI (大円盤)を、平行軸の定理から求めます。
次に抜けている部分（直径R、半径R/2の小さな円盤）があったとした場合を考え、その小さな円盤の慣性モーメント I　(小円盤）を求めます。
そして、I (大円盤） - I (小円盤）が求めるべき慣性モーメント I (灰色）だというように記載がありました ・・・・(1)

つまり、
I（大円盤） = 1/2 MR^2 + 1/4 MR^2 （平行軸の定理）
I （小円盤） については、
質量がM/4で、半径がR/2であるため、
I (小円盤） = 1/2 (M/4) (R/2)^2

したがって、
I (灰色） = 1/2 MR^2 + 1/4 MR^2 - 1/2 (M/4) (R/2)^2
= 23/32 MR^2

となります。しかしながら、ここで、小円盤が抜けている
灰色の部分の質量は、3/4 Mであるため、
実際は、I (灰色） = 23/32 x {(M ÷ 3/4 (M)} R^2 = 23/24 MR^2 ・・・・(2)

となり、答えは、

23/24 MR^2

でした。

ここで、私の疑問です。
まず、(1)の箇所で、なぜこのように単純に慣性モーメントの差を
求めるべき灰色の物体の慣性モーメントとしていいよいのでしょうか。
そうだと言われれば、それまでなのですが、積分計算して確かめてみたいです。
しかし、回転軸が中心からずれていることから、計算式の立て方が分かりません。
お教え頂けないでしょうか。

次に、(2)の箇所です。なぜ灰色部分の質量を考え「直す」必要があるのか分かりません。
すでに(1)の段階で差し引きをしていることから、灰色の部分の質量はすでに加味されている
と漠然ですが、考えてしまいます。しかも、Mの代わりに、3/4Mを代入するのではなく、
なぜかMを3/4Mで割っており、余計に混乱してしまいました。

悩み続けておりますが、どうにも答えが出ません。模範解答は
「灰色の部分の質量は、3/4 Mであるため、」としか書いておらず、
助けになりません。

どうか、ご教示下さい。お願いします。

なお、以上の数式や表現（たとえば、 I（大円盤）など）は
テキストで上付きや下付きができなかったため、このようにさせて頂きました。
分かり辛いようでしたら、改めて書き直しますゆえ、どうぞ宜しくお願いします。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

モーメントの差になるのは
∫[灰色の部分]r^2dm=∫[全体]r^2dm-∫[白色の部分]r^2dm
と積分する領域の差として記述できます

最後の3/4で割るのは、違うのかもしれませんが、
灰色の部分の質量がMとしたときの慣性モーメントを公式のように出して
後の方で引用したいのかと思いましたが、
ここだけの記述では正しいのかどうかは判断できません
（そうするこんとにより、小円盤のモーメント＋灰色部分のモーメントでこの物体全体（灰色の部分がない小円盤をふくんだ）のモーメントの計算がしやすいかと）

そうでなければあなたの仰られていることはもっともだと思います。

お礼

お返事を送るのを失念しておりました。失礼致しました。回答ありがとう御座います。おかげさまで解決しました。

回答No.2

chiha2525

おそらく、問題が、最初は灰色のところの質量がM、となっているのではないでしょうか。
これを計算が煩雑になるため、円盤が完全な空洞のない状態の場合Mとして計算し、最後に変換していると。

灰色のところの質量をM'とするとM'=3/4MからM=4/3M'

I (灰色） = 23/32 MR^2 = 23/32 x 4/3M' R^2 = 23/24 M'R^2

お礼

ありがとう御座いました。