三角形 角度が最大になるときの辺

質問

△ABCにおいて、AB＝x、BC＝2x、CA＝9とする
(1)△ABCができるようなｘの範囲を求めよ
(2)△ABCが直角三角形になるときのxの値を求めよ
(3)∠Cが最大になるときのxの値を求めよ

この問題を解いています
(1)は三角形の成立条件より３＜ｘ＜９となって
(2)はBCが最大辺になるときｘ＝3√3、ACが最大辺になるときｘ＝9√5/5となったのですが、
(3)の条件がうまく言い換えられません。「∠Cが最大のときABが最大辺になる」ということを利用できるでしょうか？(2)のように三平方の定理が利用するわけにはいかないので困ってます。
何らかのアドバイスやヒント等いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

postro · ベストアンサー

余弦定理より
cosC=(4x^2+81-x^2)/36x=(1/12){x+(27/x)}
cosCが最小の時Cが最大となるので、{x+(27/x)}が最小の時Cは最大
相加平均、相乗平均の関係から
{x+(27/x)}≧2√27
等号は x=27/x すなわち x=3√3　のとき
cosCの最小値は (1/12)*2√27=(√27)/6=(√3)/2

回答No.3

hinecchi

図形で考えると（数IIレベル）
点Ｃを原点、点Ａを（９，０）にとると、点Ｂは（２ＡＢ＝ＢＣより）
点Ｄ（１２，０）を中心とする半径６の円周上にあります。
　点Ｂを円周上で動かして、∠ＡＣＢが最大になる時のＢの位置を考えると、辺ＢＣが円の接線になる時だとわかります。
　このとき、△ＣＤＢは∠Ｂ直角でＣＤ＝１２、ＢＤ＝６より、∠Ｃ＝３０度でＢＣ＝６√３になり、ｘ＝ＡＢ＝（１／２）ＢＣ＝３√３
（ちなみに、点Ｂは（９，±３√３）になる。）
この解き方は角Ｃが３０度４５度６０度以外の時はややメンドウだが、たいていはそのどれかで問題が出ます（問題を作ります）。

「∠Cが最大のときABが最大辺になる」は解くときに使ってもよい知識ですが、この問題では使いません（できません）。

　数Iレベルでは、Ｎｏ１、Ｎｏ２さんのやり方が順当だと思います。

お礼

3人の方々回答いただきありがとうございました。
cosCが最小のときに∠Cが最大というのがみそだったのですね！本当にありがとうございました

回答No.2

nitoro

・・・一応、自分なりに解いてみたのですが、何かとてつもなくややこしくなった気がします・・・。
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私は、余弦定理で解いてみました。ＡＢについて余弦定理を利用して、『x^2 = 4x^2 + 81 －36xCOS∠C』として、COS∠Cについて整理します。後は、その整理した式をxで微分して最大値を得ると、答えが出てきました。ちなみに、その値をxに代入すると、COS∠Cの値も得られました。
・・・・と、このような具合です。解答の参考にして下さいませ。