最大・最小の応用問題の細かい疑問

質問

周の長さが２で,cosA=7/9である△ＡＢＣについて,辺ＡＢの長さをｘ（0<x<1)とし,△ＡＢＣの面積をＳとする。
(1)Sをxで表せ。
(2)Sを最大値を求めよ。また、そのときの△ＡＢＣの３辺の長さを求めよ。

上の問題なんですが、（１）はまず周の長さの条件と余弦定理を用いて解きます。
そして、(2)は三角形の面積の公式を利用し微分して最大値を求めます。
そうするとＡＢ＝3/4,AC=3/4,BC=1/2と求まるんですが解答にはこの値が本当に三角形の形としてありうるのかを検討していませんでした。
三角形の成立条件にあてはめなくも三角形として成り立つといえる理由を教えて下さい。

回答No.1

WeatherLight · ベストアンサー

逆に３角形として成立しない状況を思い浮かべるとしましょう。
３本の直線があったとして３角形にならないものを作ることができると思います。
では一般的に３角形になりうるものの条件は何だったのか？
それは解答に記載はしていませんでしたが、解答を記載した編集者は確認していたようですね。
私自身は計算していませんが、仮に答えがＡＢ＝3/4,AC=3/4,BC=1/2ならばこれは３角形を構成できます。少なくともこれが３角形ならば３辺が決定している時点で合同な３角形の条件だから、３角形は一意に定まります。だとすれば確認事項は１つの３角形が構成できれば３角形であると断定できるのです。
ではその一般的な条件は何だったのかを検討すると答えが見えてくると思います。

回答No.2

alice_44

＞　三角形の成立条件にあてはめなくも三角形として成り立つといえる理由を教えて下さい。

三角形の成立は、確認する必要があります。
確認せずに、三角形として成り立つとは言えません。
ただし、三角形の成立は、AB = 3/4, AC = 3/4, BC = 1/2 の時点ではなく、

＞　周の長さが２で,cosA=7/9である△ＡＢＣについて,辺ＡＢの長さをｘ（0<x<1)とし,

の時点で行うべきです。0 < AB < 1 の各長さについて、
周の長さが 2 で cos A = 7/9 である △ＡＢＣ が存在するかどうか
最初に確認すべきだったのです。でないと、x の値が意味を持ちません。
余弦定理を使えば、できますよね。